Seja U = 2 x^3 y - 3 y^2 z
(b) Em qual direção a partir de P a derivada direcional é máxima?
R:A derivada direcional é máxima na direção do gradiente nabla f(1,2,-1) = 12 i + 14j - 12k

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar em qual direção a derivada direcional é máxima a partir do ponto . Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas direcionais e ao conceito de gradiente em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a derivada direcional e como o gradiente de uma função está envolvido nesse processo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor é dada pelo produto escalar entre o gradiente de e o vetor . A fórmula é:

Passo 3

Aqui, representa o gradiente da função , que é um vetor composto pelas derivadas parciais de em relação a cada variável. No nosso caso:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Para encontrar a direção onde a derivada direcional é máxima, precisamos avaliar o gradiente no ponto . Embora o ponto não tenha sido explicitamente dado, podemos assumir que é com base na resposta fornecida.
Substituindo , e nas expressões do gradiente:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

A direção na qual a derivada direcional é máxima é exatamente a direção do vetor gradiente. Isso porque o gradiente aponta na direção de maior aumento da função. Portanto, a direção procurada é a direção do vetor .

Resposta

A derivada direcional é máxima na direção do gradiente .

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