Seja
(b) Em qual direção a partir de
a derivada direcional é máxima?
R:A derivada direcional é máxima na direção do gradiente
(b) Em qual direção a partir de
R:A derivada direcional é máxima na direção do gradiente
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar em qual direção a derivada direcional é máxima a partir do ponto
. Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas direcionais e ao conceito de gradiente em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a derivada direcional e como o gradiente de uma função está envolvido nesse processo.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
e o vetor
. A fórmula é:
Passo 3
Aqui,
representa o gradiente da função
, que é um vetor composto pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável. No nosso caso:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Para encontrar a direção onde a derivada direcional é máxima, precisamos avaliar o gradiente no ponto
. Embora o ponto
não tenha sido explicitamente dado, podemos assumir que é
com base na resposta fornecida.
Substituindo
,
e
nas expressões do gradiente:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 5
A direção na qual a derivada direcional é máxima é exatamente a direção do vetor gradiente. Isso porque o gradiente aponta na direção de maior aumento da função. Portanto, a direção procurada é a direção do vetor
.
Resposta
A derivada direcional é máxima na direção do gradiente
.