Calcule integral duplaR f(x, y) d x d y onde f(x, y)=1-x^2 e R é o triângulo dado por x+y <= 1, x >= 0 e y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A questão pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é um triângulo definido por , e . Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que servem para calcular áreas, volumes ou outras quantidades acumuladas em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração dessa região triangular e depois integrar a função passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . É um triângulo no primeiro quadrante (já que e são maiores ou iguais a zero) limitado pela linha . Isso significa que os valores de vão de 0 até para cada valor de entre 0 e 1.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. A gente pode integrar primeiro em relação a integralx=0^1 integraly=0^1 - x (1 - x^2) , dy , dx e depois em relação a . Então, a integral fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^1 - x (1 - x^2) , dy = (1 - x^2) cdot y g|0^1 - x = (1 - x^2)(1 - x) :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
integral0^1 (1 - x^2)(1 - x) , dx
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
(1 - x^2)(1 - x) = 1 - x - x^2 + x^3
Então, a integral fica:
integral0^1 (1 - x - x^2 + x^3) , dx

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral0^1 1 , dx = x g|0^1 = 1
integral0^1 x , dx = x^22 g|0^1 = 12
integral0^1 x^2 , dx = x^33 g|0^1 = 13
integral0^1 x^3 , dx = x^44 g|0^1 = 14

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão integrada:
1 - 12 - 13 + 14
Vamos calcular isso passo a passo:
1 - 12 = 12
12 - 13 = 36 - 26 = 16
16 + 14 = 212 + 312 = 512

Resposta

O valor da integral dupla é .

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