Calcule
onde
e
é o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é um triângulo com vértices em
,
e
. A matéria aqui é sobre integrais duplas e como configurar os limites de integração para regiões geométricas. Vamos precisar entender como descrever o triângulo e escolher a ordem de integração adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Temos um triângulo simétrico em relação ao eixo
. As linhas que formam as bordas do triângulo podem ser descritas pelas equações:
- De
a : - De
a : - A base está no eixo
de a .
Passo 3
Vamos escolher integrar em relação a
primeiro e depois em
. Para isso, precisamos expressar
em função de
. Observando as equações das linhas laterais:
- Para cada
fixo, varia de a .
Então, os limites de integração ficam assim:
-
vai de a -
vai de a
Passo 4
Agora, montamos a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Calculando os limites:
Resposta
A integral dupla vale
.