Calcule integral duplaR f(x, y) d x d y onde f(x, y)=x y e R é o triângulo de vértices (-1,0),(0,1) e (1,0).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla de sobre a região , que é um triângulo com vértices em , e . A matéria aqui é sobre integrais duplas e como configurar os limites de integração para regiões geométricas. Vamos precisar entender como descrever o triângulo e escolher a ordem de integração adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Temos um triângulo simétrico em relação ao eixo . As linhas que formam as bordas do triângulo podem ser descritas pelas equações:
  1. De a :
  2. De a :
  3. A base está no eixo de a .

Passo 3

Vamos escolher integrar em relação a primeiro e depois em . Para isso, precisamos expressar em função de . Observando as equações das linhas laterais:
  • Para cada fixo, varia de a .
Então, os limites de integração ficam assim:
  • vai de a
  • vai de a

Passo 4

Agora, montamos a integral dupla:
integral duplaR xy , dx , dy = integral0^1 integral-1 + y^1 - y xy , dx , dy
Vamos resolver a integral interna em relação a integral-1 + y^1 - y xy , dx = y integral-1 + y^1 - y x , dx = y [ x^22 ]-1 + y^1 - y :
y ( (1 - y)^22 - (-1 + y)^22 ) = y ( 1 - 2y + y^2 - (1 - 2y + y^2)2 ) = y cdot 0 = 0
Calculando os limites:

Resposta

A integral dupla vale .

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