Calcule integral duplaR f(x, y) d x d y onde f(x, y)=x-y e R é o semicírculo dado por x^2+y^2 <= 1 e x >= 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , que é um semicírculo definido por e .
Aqui, estamos lidando com integrais duplas em coordenadas cartesianas, mas como a região é um semicírculo, pode ser mais fácil mudar para coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de mudança para coordenadas polares e saber como expressar e a região nessas coordenadas.

Passo 2

Vamos converter x = r cos(theta) para coordenadas polares. Lembrando que:
y = r sin(theta)
f(r, theta) = r cos(theta) - r sin(theta) = r (cos(theta) - sin(theta))
Substituindo na função:

Passo 3

Agora, vamos descrever a região 0 <= r <= 1 em coordenadas polares. A condição -pi2 <= theta <= pi2 se torna , ou seja, . A condição corresponde a variando de a .
Portanto, os limites de integração são:

Passo 4

A integral dupla em coordenadas polares inclui o fator integral duplaR f(x, y) , dx , dy = integral-pi2^pi2 integral0^1 r (cos(theta) - sin(theta)) cdot r , dr , dtheta devido ao elemento de área. Assim, a integral fica:
integral-pi2^pi2 integral0^1 r^2 (cos(theta) - sin(theta)) , dr , dtheta
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 r^2 (cos(theta) - sin(theta)) , dr = (cos(theta) - sin(theta)) integral0^1 r^2 , dr :
integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13
Calculando a integral de (cos(theta) - sin(theta)) cdot 13 = 13 (cos(theta) - sin(theta)) :
Portanto:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
13 integral-pi2^pi2 (cos(theta) - sin(theta)) , dtheta
Calculando as integrais separadamente:
integral-pi2^pi2 cos(theta) , dtheta = [ sin(theta) ]-pi2^pi2 = sin(pi2) - sin(-pi2) = 1 - (-1) = 2
integral-pi2^pi2 sin(theta) , dtheta = [ -cos(theta) ]-pi2^pi2 = -cos(pi2) + cos(-pi2) = 0 - 0 = 0
Portanto:
13 (2 - 0) = 23

Resposta

A integral dupla sobre a região é igual a .

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