Calcule
onde
e
é o semicírculo dado por
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é um semicírculo definido por
e
.
Aqui, estamos lidando com integrais duplas em coordenadas cartesianas, mas como a região é um semicírculo, pode ser mais fácil mudar para coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de mudança para coordenadas polares e saber como expressar
e a região
nessas coordenadas.
Passo 2
Vamos converter
para coordenadas polares. Lembrando que:
Substituindo na função:
Passo 3
Agora, vamos descrever a região
em coordenadas polares. A condição
se torna
, ou seja,
. A condição
corresponde a
variando de
a
.
Portanto, os limites de integração são:
Passo 4
A integral dupla em coordenadas polares inclui o fator
devido ao elemento de área. Assim, a integral fica:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Calculando a integral de
:
Portanto:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Calculando as integrais separadamente:
Portanto:
Resposta
A integral dupla
sobre a região
é igual a
.