Suponha que o potencial numa lâmina plana é dado por V(x, y)=80-20 x e^-x^2+y^220 em volts, x e y em centímetros.
(b) Determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixo dos y.
$$
\mathbf{R}: \frac{\partial V}{\partial y}=2 x y e{-\frac{x{2}+y^{2}}{20}}$$

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um potencial elétrico numa lâmina plana, expresso por volts, onde e estão em centímetros. A gente precisa encontrar a taxa de variação desse potencial em qualquer direção paralela ao eixo dos . Basicamente, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como , a derivada parcial em relação a nos mostra como muda quando só varia, mantendo constante.

Passo 3

Agora, vamos calcular . A função tem duas partes: uma constante e a outra parte .
A derivada de uma constante é zero, então só precisamos derivar a segunda parte.

Passo 4

Vamos derivar partialpartial y ( e^-x^2+y^220 ) = e^-x^2+y^220 cdot ( -2y20 ) = -y10 e^-x^2+y^220 em relação a . Para isso, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Primeiro, a constante fica como está, e derivamos o exponencial:

Passo 5

Multiplicando de volta pela constante -20x cdot ( -y10 e^-x^2+y^220 ) = 2xy e^-x^2+y^220 :

Resposta

A taxa de variação do potencial partial Vpartial y = 2xy e^-x^2+y^220 em qualquer direção paralela ao eixo dos é:

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