Determine os pontos de máximos e/ou mínimos das funções dadas, sujeito às restrições:
(d) f(x, y) = x^2 + y^2 ; x * y = 1
R: f(1,1)=f(-1,-1)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos de máximos e/ou mínimos da função com a restrição . Para isso, vamos usar um método da matemática chamado Multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar extremos de funções sujeitas a certas restrições.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa encontrar máximos e mínimos de uma função com restrição. A função representa uma superfície parabólica, e queremos saber onde essa função atinge seus valores mais altos ou mais baixos, mas somente nos pontos onde .

Passo 3

Vamos configurar o Multiplicador de Lagrange. Introduzimos um novo parâmetro, chamado de (lambda), que nos ajuda a considerar a restrição junto com a função que queremos otimizar. A fórmula do Lagrangiano fica assim:
No nosso caso, fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais do Lagrangiano em relação a , e e igualá-las a zero. Essas derivadas nos darão as equações necessárias para encontrar os pontos críticos.
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Terceira derivada em relação a :

Passo 5

Agora temos um sistema de três equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 6

Vamos resolver as duas primeiras equações para :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para :
Simplificando:
Isso significa que ou .

Passo 7

Vamos analisar as duas possibilidades:
Caso 1:
Substituindo na restrição :
Então, os pontos são e .
Caso 2:
Substituindo na restrição:
Isso não tem solução real, pois é sempre positivo e não pode ser igual a . Portanto, descartamos esse caso.

Resposta

Os pontos de mínimo da função sujeitos à restrição são e , onde .

Exercícios relacionados