Determine os pontos de máximos e/ou mínimos das funções dadas, sujeito às restrições:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos de máximos e/ou mínimos da função
com a restrição
. Para isso, vamos usar um método da matemática chamado Multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar extremos de funções sujeitas a certas restrições.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa encontrar máximos e mínimos de uma função com restrição. A função
representa uma superfície parabólica, e queremos saber onde essa função atinge seus valores mais altos ou mais baixos, mas somente nos pontos onde
.
Passo 3
Vamos configurar o Multiplicador de Lagrange. Introduzimos um novo parâmetro, chamado de
(lambda), que nos ajuda a considerar a restrição junto com a função que queremos otimizar. A fórmula do Lagrangiano fica assim:
No nosso caso, fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais do Lagrangiano em relação a
,
e
e igualá-las a zero. Essas derivadas nos darão as equações necessárias para encontrar os pontos críticos.
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Terceira derivada em relação a
:
Passo 5
Agora temos um sistema de três equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar os valores de
,
e
.
Passo 6
Vamos resolver as duas primeiras equações para
:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para
:
Simplificando:
Isso significa que
ou
.
Passo 7
Vamos analisar as duas possibilidades:
Caso 1:
Substituindo na restrição :
Substituindo na restrição
Então, os pontos são
e
.
Caso 2:
Substituindo na restrição:
Substituindo na restrição:
Isso não tem solução real, pois
é sempre positivo e não pode ser igual a
. Portanto, descartamos esse caso.
Resposta
Os pontos de mínimo da função
sujeitos à restrição
são
e
, onde
.