a) sumn=1^infty 1n^4+n^2+1
b) summ=1^infty 1raizm^4+1
c) sumn=1^infty 2+cos nn^2
d) sumk=1^infty 1k 3^k
e) summ=1^infty 1m!
f) sumn=1^infty (2 n-1)(n^2-1)(n+1)(n^2+4)^2
g) sumn=1^infty 1n+raizn
h) sumk=1^infty 4 k+13^k-2
i) sumn=1^infty 11^2+2^2+3^2+cdots+n^2
j) sumn=1^infty ln nn
k) summ=1^infty 2^m3+4^m

Passo 1

Beleza, vamos resolver a soma infinita sumn=1^infty 1n^4+n^2+1. Esse exercício está relacionado ao estudo de séries infinitas na matemática, mais especificamente sobre a convergência de séries. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão do termo geral e verificar se a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: n^4 + n^2 + 1. Tentar fatorar isso pode ajudar a simplificar a expressão. Observamos que n^4 + n^2 + 1 pode ser reescrito como (n^2)^2 + n^2 + 1, o que não é facilmente fatorável por métodos simples. Portanto, vamos procurar outra estratégia.

Passo 3

Vamos comparar a série dada com uma série p, que tem a forma sumn=1^infty 1n^p. Sabemos que a série p converge se p > 1. No nosso caso, o termo geral é 1n^4 + n^2 + 1. Para grandes valores de n, o termo dominante no denominador é n^4, então podemos aproximar 1n^4 + n^2 + 1 approx 1n^4.

Passo 4

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^4 converge porque 4 > 1. Como 1n^4 + n^2 + 1 < 1n^4 para todo n >= 1, podemos aplicar o teste da comparação: se a série maior converge, a série menor também converge.

Passo 5

Como a série sumn=1^infty 1n^4 converge e cada termo da nossa série é menor que o correspondente da série p, concluímos que a série sumn=1^infty 1n^4 + n^2 + 1 também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n^4 + n^2 + 1 converge.

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