Calcule integral duplaR f(x, y) d x d y onde f(x, y)=e-y^2 e R é o triângulo de vértices (0,0),(1,1) e (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é o triângulo com vértices em , e . Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para achar o valor dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . O triângulo está no plano xy e tem três vértices: , e . Para integrar sobre essa região, precisamos definir os limites de integração para e .

Passo 3

Vamos desenhar ou imaginar o triângulo para facilitar. A base do triângulo está no eixo y, de a . A linha que vai de a é a reta . Então, para cada valor de entre e , varia de até .

Passo 4

Agora que temos os limites, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
integral duplaR f(x, y) , dx , dy = integralx=0^1 integraly=x^1 (e - y^2) , dy , dx

Passo 5

Vamos primeiro integrar com relação a integraly=x^1 (e - y^2) , dy = e integraly=x^1 dy - integraly=x^1 y^2 , dy . A função = e [y]x^1 - [ y^33 ]x^1 é fácil de integrar:
= e (1 - x) - ( 13 - x^33 )
Integrando termo a termo:
= e (1 - x) - 1 - x^33

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado com relação a integral0^1 [ e (1 - x) - 1 - x^33 ] dx :
= e integral0^1 (1 - x) , dx - 13 integral0^1 (1 - x^3) , dx
Podemos separar a integral em duas partes:

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
e integral0^1 (1 - x) , dx = e [ x - x^22 ]0^1 = e (1 - 12) = e cdot 12 = e2
Segunda integral:
13 integral0^1 (1 - x^3) , dx = 13 [ x - x^44 ]0^1 = 13 (1 - 14) = 13 cdot 34 = 14

Passo 8

Agora, subtraímos a segunda parte da primeira:
e2 - 14 = 2e - 14

Resposta

O valor da integral dupla é .

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