Calcule
onde
e
é o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
. Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para achar o valor dessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. O triângulo está no plano xy e tem três vértices:
,
e
. Para integrar sobre essa região, precisamos definir os limites de integração para
e
.
Passo 3
Vamos desenhar ou imaginar o triângulo para facilitar. A base do triângulo está no eixo y, de
a
. A linha que vai de
a
é a reta
. Então, para cada valor de
entre
e
,
varia de
até
.
Passo 4
Agora que temos os limites, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 5
Vamos primeiro integrar com relação a
. A função
é fácil de integrar:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Agora, vamos integrar esse resultado com relação a
:
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 7
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 8
Agora, subtraímos a segunda parte da primeira:
Resposta
O valor da integral dupla é
.