Use o teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r. Em cada caso, C é orientado no sentido anti-horario quando visto de cima. F(x, y, z)=2 y i+x z j+x+y k, C é a curva de interseção do plano z=y+2 com o cilindro x^2+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r usando o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral de superfície sobre uma superfície S que tem C como sua borda. Aqui, nosso campo vetorial é F(x, y, z) = 2 y i + x z j + (x + y) k, e a curva C é a interseção do plano z = y + 2 com o cilindro x^2 + y^2 = 1. Vamos precisar calcular o rotacional de F e parametrizar a superfície S para aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes. Ele nos permite transformar a integral de linha integralC F cdot d r em uma integral de superfície integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS, onde nabla times F é o rotacional de F e n é o vetor normal à superfície S. Isso facilita bastante os cálculos, especialmente quando a superfície S tem uma geometria mais simples.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de F, ou seja, nabla times F. Lembrando que:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  • partial Fzpartial y = partial (x + y)partial y = 1
  • partial Fypartial z = partial (x z)partial z = x
  • partial Fxpartial z = partial (2 y)partial z = 0
  • partial Fzpartial x = partial (x + y)partial x = 1
  • partial Fypartial x = partial (x z)partial x = z
  • partial Fxpartial y = partial (2 y)partial y = 2
Então,
nabla times F = (1 - x) i + (0 - 1) j + (z - 2) k = (1 - x) i - j + (z - 2) k

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície S que está limitada pela curva C. Sabemos que C é a interseção do plano z = y + 2 com o cilindro x^2 + y^2 = 1. Vamos escolher S como a parte do plano z = y + 2 dentro do cilindro. Para parametrizar S, podemos usar coordenadas polares, já que o cilindro é circular.
Vamos expressar x e y em termos de r e theta:
x = r cos theta
y = r sin theta
z = y + 2 = r sin theta + 2
Aqui, r varia de 0 a 1 (raio do cilindro) e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor normal n à superfície S. Como S está no plano z = y + 2, podemos reescrever a equação do plano como z - y = 2. O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano, que é n = i cdot 0 + j cdot (-1) + k cdot 1 = -j + k. Para facilitar, vamos usar a orientação padrão do Teorema de Stokes, que é contrária ao sentido horário quando visto de cima, então nosso vetor normal será n = -j + kraiz2.

Passo 6

Agora, vamos calcular nabla times F cdot n:
nabla times F = (1 - x) i - j + (z - 2) k
n = -j + kraiz2
nabla times F cdot n = (1 - x)(0) + (-1)(-1) + (z - 2)(1) = 1 + (z - 2)
Substituindo z = y + 2:
1 + (y + 2 - 2) = 1 + y
Agora, a integral de superfície fica:
integral duplaS (1 + y) , dS
Usando as coordenadas polares:
y = r sin theta
dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , r , dr , dtheta = raiz1 + 0 + 1 , r , dr , dtheta = raiz2 , r , dr , dtheta
Então,
integral duplaS (1 + r sin theta) raiz2 , r , dr , dtheta = raiz2 integral0^2pi integral0^1 (1 + r sin theta) r , dr , dtheta

Resposta

Após resolver as integrais, a integral de linha integralC F cdot d r é igual a raiz2 cdot pi.

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