Use o teorema de Stokes para calcular
. Em cada caso,
é orientado no sentido anti-horario quando visto de cima.
é a curva de interseção do plano
com o cilindro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral de superfície sobre uma superfície
que tem
como sua borda. Aqui, nosso campo vetorial é
, e a curva
é a interseção do plano
com o cilindro
. Vamos precisar calcular o rotacional de
e parametrizar a superfície
para aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes. Ele nos permite transformar a integral de linha
em uma integral de superfície
, onde
é o rotacional de
e
é o vetor normal à superfície
. Isso facilita bastante os cálculos, especialmente quando a superfície
tem uma geometria mais simples.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
, ou seja,
. Lembrando que:
Vamos calcular cada componente:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar a superfície
que está limitada pela curva
. Sabemos que
é a interseção do plano
com o cilindro
. Vamos escolher
como a parte do plano
dentro do cilindro. Para parametrizar
, podemos usar coordenadas polares, já que o cilindro é circular.
Vamos expressar
e
em termos de
e
:
Aqui,
varia de 0 a 1 (raio do cilindro) e
varia de 0 a
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor normal
à superfície
. Como
está no plano
, podemos reescrever a equação do plano como
. O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano, que é
. Para facilitar, vamos usar a orientação padrão do Teorema de Stokes, que é contrária ao sentido horário quando visto de cima, então nosso vetor normal será
.
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Substituindo
:
Agora, a integral de superfície fica:
Usando as coordenadas polares:
Então,
Resposta
Após resolver as integrais, a integral de linha
é igual a
.