Calcule
onde
e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
, onde
e a região
é definida por
e
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e aplicar técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
onde vamos integrar. Temos que
varia de
a
, e para cada valor de
,
varia de
a
. Isso significa que estamos integrando sobre uma região que está acima da parábola
e abaixo da linha
, no intervalo de
de
a
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Sabemos que podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Então, a integral fica:
Aqui, integramos
em
de
a
, mantendo
fixo, e depois integramos o resultado em
de
a
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Como
e
são constantes em relação a
, podemos tirá-los para fora da integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 6
Substituindo de volta na integral interna:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Podemos simplificar:
Passo 8
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Observamos que temos funções da forma
, que são privadas para substituição. Vamos usar a substituição
, então
, ou seja,
.
Para a primeira integral:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 9
Para a segunda integral,
, usamos a mesma substituição
,
, mas precisamos ajustar os termos:
Então:
Mas
, então:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes duas vezes:
Primeira aplicação:
Primeira aplicação:
Segunda aplicação:
Portanto:
Substituindo de volta
e aplicando os limites de
a
:
Passo 10
Voltando à nossa expressão original:
Resposta
A integral dupla
sobre a região
é igual a
.