Calcule integral duplaR f(x, y) d x d y onde f(x, y)=x y cos (x^2) e R=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1 e x^2 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integral duplaR f(x, y) , dx , dy, onde f(x, y) = x y cos(x^2) e a região R é definida por 0 <= x <= 1 e x^2 <= y <= 1. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e aplicar técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região R onde vamos integrar. Temos que x varia de 0 a 1, e para cada valor de x, y varia de x^2 a 1. Isso significa que estamos integrando sobre uma região que está acima da parábola y = x^2 e abaixo da linha y = 1, no intervalo de x de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Sabemos que podemos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. Então, a integral fica:
integral0^1 ( integralx^2^1 x y cos(x^2) , dy ) dx
Aqui, integramos f(x, y) em y de x^2 a 1, mantendo x fixo, e depois integramos o resultado em x de 0 a 1.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integralx^2^1 x y cos(x^2) , dy
Como x e cos(x^2) são constantes em relação a y, podemos tirá-los para fora da integral:
x cos(x^2) integralx^2^1 y , dy

Passo 5

Agora, vamos integrar y em relação a y:
integral y , dy = y^22
Aplicando os limites de x^2 a 1:
1^22 - (x^2)^22 = 12 - x^42

Passo 6

Substituindo de volta na integral interna:
x cos(x^2) ( 12 - x^42 ) = x2 cos(x^2) (1 - x^4)

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 x2 cos(x^2) (1 - x^4) , dx
Podemos simplificar:
12 integral0^1 x (1 - x^4) cos(x^2) , dx = 12 ( integral0^1 x cos(x^2) , dx - integral0^1 x^5 cos(x^2) , dx )

Passo 8

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Observamos que temos funções da forma x^n cos(x^2), que são privadas para substituição. Vamos usar a substituição u = x^2, então du = 2x , dx, ou seja, x , dx = du2.
Para a primeira integral:
integral x cos(x^2) , dx = 12 integral cos(u) , du = 12 sin(u) + C = 12 sin(x^2) + C
Aplicando os limites de 0 a 1:
12 (sin(1) - sin(0)) = 12 sin(1)

Passo 9

Para a segunda integral, integral x^5 cos(x^2) , dx, usamos a mesma substituição u = x^2, du = 2x , dx, mas precisamos ajustar os termos:
x^5 cos(x^2) , dx = x^4 cdot x cos(x^2) , dx = x^4 cdot du2
Então:
12 integral x^4 cos(u) , du
Mas x^4 = (x^2)^2 = u^2, então:
12 integral u^2 cos(u) , du
Para resolver essa integral, usamos integração por partes duas vezes:
Primeira aplicação:
integral u^2 cos(u) , du = u^2 sin(u) - integral 2u sin(u) , du
Segunda aplicação:
integral 2u sin(u) , du = -2u cos(u) + 2 integral cos(u) , du = -2u cos(u) + 2 sin(u)
Portanto:
integral u^2 cos(u) , du = u^2 sin(u) + 2u cos(u) - 2 sin(u) + C
Substituindo de volta u = x^2 e aplicando os limites de 0 a 1:
1^2 sin(1) + 2(1) cos(1) - 2 sin(1) - [0 + 0 - 0] = sin(1) + 2 cos(1) - 2 sin(1) = 2 cos(1) - sin(1)

Passo 10

Voltando à nossa expressão original:
12 ( 12 sin(1) - 12 (2 cos(1) - sin(1)) ) = 12 ( 12 sin(1) - cos(1) + 12 sin(1) ) = 12 (sin(1) - cos(1))

Resposta

A integral dupla integral duplaR x y cos(x^2) , dx , dy sobre a região R é igual a 12 (sin(1) - cos(1)).

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