Determine para cada função o maior subconjunto de R^3 onde as funções são definidas, represente se possível este conjunto graficamente:
© f(x, y, z) = (x + y - z + 2) / (x * y * z)
R: D={ (x, y, z) em R^3 / x != 0 e y != 0 e z != 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir para a função qual é o maior conjunto de números reais onde ela está definida. Isso envolve entender onde o denominador não é zero, porque não dá pra dividir por zero, né? Então, vamos usar um pouco de álgebra básica para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o denominador da função: . Para que a função esteja definida, o denominador não pode ser zero. Isso significa que nenhum dos três valores , ou pode ser zero. Se , ou , a função não existe porque estaríamos dividindo por zero.

Passo 3

Então, vamos descrever matematicamente esse conjunto de pontos onde , e são diferentes de zero. Isso pode ser representado assim:
Isso significa que é o conjunto de todos os pontos no espaço tridimensional onde nenhuma das coordenadas , ou é zero.

Passo 4

Agora, para representar graficamente esse conjunto, imagine o espaço dividido por três planos: , e . Esses planos são os eixos , e respectivamente. O conjunto exclui exatamente esses planos, ou seja, estamos olhando para todo o espaço tridimensional menos os eixos.

Passo 5

Visualmente, isso seria como ter três folhas infinitas (os planos) cortando o espaço, e o domínio é tudo o que está fora delas. Não podemos representar perfeitamente isso em um desenho 2D, mas imagine que estamos removendo essas “paredes” do espaço, e todo o resto está incluído no domínio onde a função está definida.

Resposta

O maior subconjunto de onde a função está definida é:
Isso significa que , e podem ser qualquer número real, exceto zero.

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