Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos.
(h) sumk=1^infty k 5^k(2 k+3) ln (k+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que precisa descobrir se ela converge ou diverge. O enunciado pede para usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz. A série que vamos analisar é:
sumk=1^infty k cdot 5^k(2k+3) cdot ln(k+1)
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é super útil para séries com termos que envolvem potências como .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Ele diz que para uma série L = limk to infty | ak+1ak | , calculamos o limite:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série.

Passo 3

Vamos identificar ak = k cdot 5^k(2k+3) cdot ln(k+1) da série:
ak+1 = (k+1) cdot 5^k+1(2(k+1)+3) cdot ln(k+2) = (k+1) cdot 5^k+1(2k+5) cdot ln(k+2)
Agora, encontramos :

Passo 4

Vamos montar a razão ak+1ak = (k+1) cdot 5^k+1(2k+5) cdot ln(k+2) cdot (2k+3) cdot ln(k+1)k cdot 5^k :
ak+1ak = 5 cdot k+1k cdot 2k+32k+5 cdot ln(k+1)ln(k+2)
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite conforme L = limk to infty 5 cdot k+1k cdot 2k+32k+5 cdot ln(k+1)ln(k+2) tende ao infinito:
L = 5 cdot 1 cdot 1 cdot 1 = 5
Analisando cada fator:
  1. quando .
  2. quando .
  3. quando .
Então, o limite fica:

Passo 6

Agora, vamos interpretar o resultado:
L = 5
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série diverge segundo o Teste da Razão.

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