Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos.
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que precisa descobrir se ela converge ou diverge. O enunciado pede para usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz. A série que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é super útil para séries com termos que envolvem potências como .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Ele diz que para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série.
Passo 3
Vamos identificar ak = k cdot 5^k(2k+3) cdot ln(k+1) da série: