Calcule , onde:
b) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , onde e . Isso está no tópico de integrais múltiplas, que é uma forma de somar valores de uma função sobre uma área específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . É um retângulo no plano onde tanto quanto variam de 1 a 2. Então, nossa integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada:

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a . Para isso, tratamos como uma constante:
Para integrar com respeito a , fazemos uma substituição simples. Seja , então .

Passo 4

Com a substituição , quando , , e quando , . A integral fica:
Integrando em relação a , temos:

Passo 5

Aplicando os limites de integração:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Essa integral também é de funções simples que podemos integrar term por termo.

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral fica:

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 9

Simplificando usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
d)
Encontre usando as propriedades e a tabela de Transformadas de Laplace. Observação: descreva quais propriedades foram usadas.