Calcule integral duplaR f(x, y) d R, onde:
b) f(x, y)=1[x+y]^2 e R=(x, y) in R^2 / 1 <= x <= 2,1 <= y <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , onde e . Isso está no tópico de integrais múltiplas, que é uma forma de somar valores de uma função sobre uma área específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração integral duplaR 1(x + y)^2 , dA = integral1^2 integral1^2 1(x + y)^2 , dy , dx . É um retângulo no plano onde tanto quanto variam de 1 a 2. Então, nossa integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada:

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a integral1^2 1(x + y)^2 , dy . Para isso, tratamos como uma constante:
Para integrar com respeito a , fazemos uma substituição simples. Seja , então .

Passo 4

Com a substituição integralx + 1^x + 2 1u^2 , du , quando integral 1u^2 , du = -1u + C , , e quando , . A integral fica:
Integrando em relação a , temos:

Passo 5

Aplicando os limites de integração:
-1u g|x + 1^x + 2 = -1x + 2 + 1x + 1 = 1x + 1 - 1x + 2

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^2 ( 1x + 1 - 1x + 2 ) , dx
Essa integral também é de funções simples que podemos integrar term por termo.

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x + 1 , dx = ln|x + 1| + C
integral 1x + 2 , dx = ln|x + 2| + C
Então, a integral fica:
ln(x + 1) - ln(x + 2) g|1^2

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
Para ln(2 + 1) - ln(2 + 2) = ln(3) - ln(4) :
ln(1 + 1) - ln(1 + 2) = ln(2) - ln(3)
Para [ln(3) - ln(4)] - [ln(2) - ln(3)] = 2ln(3) - ln(4) - ln(2) :
Subtraindo:

Passo 9

Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
2ln(3) - ln(4) - ln(2) = ln(3^2) - ln(4 times 2) = ln(9) - ln(8) = ln(98)

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados