Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , onde e . Isso está no tópico de integrais múltiplas, que é uma forma de somar valores de uma função sobre uma área específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . É um retângulo no plano onde tanto quanto variam de 1 a 2. Então, nossa integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada:
Passo 3
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a . Para isso, tratamos como uma constante:
Para integrar com respeito a , fazemos uma substituição simples. Seja , então .
Passo 4
Com a substituição , quando , , e quando , . A integral fica:
Integrando em relação a , temos:
Passo 5
Aplicando os limites de integração:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Essa integral também é de funções simples que podemos integrar term por termo.