integral(e^x+1)^6 e^x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = e^x + 1
Isso significa que estamos dizendo que é igual a mais 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = e^x em relação a du = e^x dx para substituir na integral. Calculando a derivada:
Isso implica que:
Perceba que está presente na nossa integral original, o que é ótimo para a substituição.

Passo 4

Com as substituições feitas, podemos reescrever a integral original em termos de integral(e^x+1)^6 e^x dx = integral u^6 du :
Agora, a integral está muito mais simples!

Passo 5

Vamos integrar integral u^n du = u^n+1n+1 + C em relação a integral u^6 du = u^77 + C . A regra para integrar é:
Aplicando isso:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos substituir u^77 + C = (e^x + 1)^77 + C de volta para :

Resposta

(e^x + 1)^77 + C

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