Calcule as seguintes integrais:
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . Aqui, a matéria envolvida é cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções racionais e como lidar com os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Nessa parte, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

A integral de em relação a é . Então, ao integrar, temos:
Aqui, é a constante de integração, que podemos ignorar porque vamos avaliar os limites.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de de a :
Sabemos que , então simplificamos para:

Passo 5

Agora, nossa integral dupla virou uma simples integral em :
Vamos resolver essa integral. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:

Passo 6

Aplicando a integração por partes:
Agora, precisamos resolver .

Passo 7

Simplificamos :
Então,

Passo 8

Voltando à integração por partes:

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de de a :

Passo 10

Calculando os valores:

Resposta

A integral dupla vale .

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Calcule , onde:
b) e