Calcule as seguintes integrais:
d) integral1^2 integral1-x^2 1x+y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . Aqui, a matéria envolvida é cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções racionais e como lidar com os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Nessa parte, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

A integral de integral 1x+y , dy = ln|x+y| + C em relação a é . Então, ao integrar, temos:
Aqui, é a constante de integração, que podemos ignorar porque vamos avaliar os limites.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de [ ln(x+2) - ln(x + (1 - x)) ] = ln(x+2) - ln(1) de ln(x+2) a :
Sabemos que , então simplificamos para:

Passo 5

Agora, nossa integral dupla virou uma simples integral em integral1^2 ln(x+2) , dx :
u = ln(x+2) Rightarrow du = 1x+2 , dx
Vamos resolver essa integral. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
dv = dx Rightarrow v = x

Passo 6

Aplicando a integração por partes:
integral ln(x+2) , dx = x ln(x+2) - integral xx+2 , dx
Agora, precisamos resolver .

Passo 7

Simplificamos xx+2 = 1 - 2x+2 :
integral xx+2 , dx = integral (1 - 2x+2) , dx = x - 2 ln|x+2| + C
Então,

Passo 8

Voltando à integração por partes:
integral ln(x+2) , dx = x ln(x+2) - ( x - 2 ln(x+2) ) + C = (x - x) ln(x+2) + 2 ln(x+2) - x + C = 2 ln(x+2) - x + C

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de [ 2 ln(2+2) - 2 ] - [ 2 ln(1+2) - 1 ] = [ 2 ln(4) - 2 ] - [ 2 ln(3) - 1 ] de a :

Passo 10

Calculando os valores:
2 ln(4) - 2 - 2 ln(3) + 1 = 2 (ln(4) - ln(3)) -1 = 2 ln(43) -1

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados