Calcule integral duplaR f(x, y) d x d y onde f(x, y)=x^2+y^2 e R é o retângulo dado por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo de uma integral dupla. A gente precisa calcular , onde e a região é um retângulo definido por e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas sobre retângulos, que envolve integrar a função primeiro em uma variável e depois na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser calculada como o produto de duas integrais simples. Ou seja, podemos integrar em relação a de 0 a 1 e depois em relação a de 0 a 1, ou vice-versa. Vamos começar integrando em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a integral de integral0^1 (x^2 + y^2) , dx em relação a de 0 a 1:
Aqui, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^1 x^2 , dx + integral0^1 y^2 , dx
A primeira integral é sobre e a segunda é sobre , que é uma constante em relação a .

Passo 5

Calculando cada integral separadamente:
Para x^33 g|0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 :
y^2 cdot x g|0^1 = y^2 cdot 1 - y^2 cdot 0 = y^2
Para :

Passo 6

Somando os resultados das integrais:
13 + y^2
Agora, temos uma função de que precisamos integrar de 0 a 1.

Passo 7

Vamos agora integrar integral0^1 ( 13 + y^2 ) , dy em relação a de 0 a 1:

Passo 8

Novamente, integramos termo a termo:
Para 13 cdot y g|0^1 = 13 cdot 1 - 13 cdot 0 = 13 :
y^33 g|0^1 = 1^33 - 0^33 = 13
Para :

Passo 9

Somando os resultados:
13 + 13 = 23

Resposta

A integral dupla sobre o retângulo é igual a .

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