Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo de uma integral dupla. A gente precisa calcular , onde e a região é um retângulo definido por e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas sobre retângulos, que envolve integrar a função primeiro em uma variável e depois na outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser calculada como o produto de duas integrais simples. Ou seja, podemos integrar em relação a de 0 a 1 e depois em relação a de 0 a 1, ou vice-versa. Vamos começar integrando em relação a .
Passo 3
Vamos calcular a integral de em relação a de 0 a 1:
Aqui, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é sobre e a segunda é sobre , que é uma constante em relação a .
Passo 5
Calculando cada integral separadamente:
Para :
Para :
Passo 6
Somando os resultados das integrais:
13 + y^2
Agora, temos uma função de que precisamos integrar de 0 a 1.
Passo 7
Vamos agora integrar integral0^1 ( 13 + y^2 ) , dy em relação a de 0 a 1:
Passo 8
Novamente, integramos termo a termo:
Para 13 cdot y g|0^1 = 13 cdot 1 - 13 cdot 0 = 13 :