Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza:
(i) f(x, y) = 1/2 * x^4 - 2 * x^3 + 4 * x * y + y^2
R: (0,0) Ponto de sela, (4, -8) Ponto de mínimo, -1,2 Ponto de máximo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar os pontos críticos da função e descobrir se cada ponto é um ponto de máximo, mínimo ou sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde e :
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 5

Da segunda equação, podemos expressar em termos de :
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 6

Vamos fatorar a equação resultante:
Agora, resolvemos e :
Para , usamos a fórmula de Bhaskara:

Passo 7

Agora, encontramos os valores correspondentes de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Agora que temos os pontos críticos, precisamos determinar a natureza de cada um deles. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas parciais:
Calculamos o discriminante :

Passo 9

Vamos avaliar em cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 0):
Quando , o ponto é um ponto de sela.
  1. Ponto (4, -8):
Além disso, , então o ponto é um ponto de mínimo.
  1. Ponto (-1, 2):
Aqui, , indicando um ponto de mínimo.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • — Ponto de sela
  • — Ponto de mínimo
  • — Ponto de mínimo

Exercícios relacionados