Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza:
(i)
R:
Ponto de sela,
Ponto de mínimo,
Ponto de máximo
(i)
R:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar os pontos críticos da função
e descobrir se cada ponto é um ponto de máximo, mínimo ou sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde
e
:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Da segunda equação, podemos expressar
em termos de
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 6
Vamos fatorar a equação resultante:
Agora, resolvemos
e
:
Para
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Passo 7
Agora, encontramos os valores correspondentes de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Agora que temos os pontos críticos, precisamos determinar a natureza de cada um deles. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas parciais:
Calculamos o discriminante
:
Passo 9
Vamos avaliar
em cada ponto crítico:
- Ponto (0, 0):
Quando
, o ponto é um ponto de sela.
- Ponto (4, -8):
Além disso,
, então o ponto é um ponto de mínimo.
- Ponto (-1, 2):
Aqui,
, indicando um ponto de mínimo.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
— Ponto de sela -
— Ponto de mínimo -
— Ponto de mínimo