Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza:
(a) f(x, y) = 3 x^2 + 2 x y + y^2 + 10 x + 20 y + 1
R: -2,1 Ponto de mínimo.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função e investigar a natureza desses pontos. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e matrizes Hessianas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2). Podemos simplificar a equação (2) dividindo todos os termos por 2:
Agora, podemos expressar em termos de :

Passo 6

Substituímos na equação (1):

Passo 7

Agora, substituímos na expressão de :
Portanto, o ponto crítico encontrado é .

Passo 8

Para investigar a natureza desse ponto crítico, vamos utilizar a matriz Hessiana da função . A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais:

Passo 9

Calculando as segundas derivadas:
Então, a matriz Hessiana é:

Passo 10

Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Como o determinante é positivo e , concluímos que o ponto crítico é um ponto de mínimo.

Resposta

O ponto crítico da função é e é um ponto de mínimo.

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