Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza:
(a)
R: Ponto de mínimo.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função e investigar a natureza desses pontos. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e matrizes Hessianas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a :
E em relação a :
Passo 4
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2). Podemos simplificar a equação (2) dividindo todos os termos por 2:
Agora, podemos expressar em termos de :
Passo 6
Substituímos na equação (1):
Passo 7
Agora, substituímos na expressão de :
Portanto, o ponto crítico encontrado é .
Passo 8
Para investigar a natureza desse ponto crítico, vamos utilizar a matriz Hessiana da função . A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais:
Passo 9
Calculando as segundas derivadas:
Então, a matriz Hessiana é:
Passo 10
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Como o determinante é positivo e , concluímos que o ponto crítico é um ponto de mínimo.
Resposta
O ponto crítico da função é e é um ponto de mínimo.