Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza:
(d) f(x, y) = x^3/3 + 9y^3 - 4xy
R:(0,0) e 4/3, 4/9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os pontos críticos da função e investigar a natureza desses pontos. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero. Ou seja, precisamos achar onde:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2). Da equação (1), podemos expressar em termos de :
Substituindo a equação (3) na equação (2):

Passo 6

Agora, substituímos a expressão de da equação (4) na equação (3):
Multiplicando ambos os lados por 16 para eliminar a fração:
Dividindo ambos os lados por (considerando ):

Passo 7

Com , substituímos na equação (4) para encontrar :
Além disso, verificamos o caso onde . Voltando à equação (1):
Portanto, temos dois pontos críticos: e .

Passo 8

Agora, vamos investigar a natureza desses pontos críticos usando o critério da segunda derivada. Para isso, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:

Passo 9

Calculamos o determinante da matriz Hessiana ( ):
Vamos avaliar em cada ponto crítico.
Para :
Como , o ponto é um ponto de sela.
Para :
Como e , o ponto é um mínimo relativo.

Resposta

Os pontos críticos da função são , que é um ponto de sela, e , que é um ponto de mínimo relativo.

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