Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os pontos críticos da função
e investigar a natureza desses pontos. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero. Ou seja, precisamos achar onde:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2). Da equação (1), podemos expressar
em termos de
:
Substituindo a equação (3) na equação (2):
Passo 6
Agora, substituímos a expressão de
da equação (4) na equação (3):
Multiplicando ambos os lados por 16 para eliminar a fração:
Dividindo ambos os lados por
(considerando
):
Passo 7
Com
, substituímos na equação (4) para encontrar
:
Além disso, verificamos o caso onde
. Voltando à equação (1):
Portanto, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 8
Agora, vamos investigar a natureza desses pontos críticos usando o critério da segunda derivada. Para isso, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 9
Calculamos o determinante da matriz Hessiana (
):
Vamos avaliar
em cada ponto crítico.
Para
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Para
:
Como
e
, o ponto
é um mínimo relativo.
Resposta
Os pontos críticos da função são
, que é um ponto de sela, e
, que é um ponto de mínimo relativo.