Calcule as seguintes integrais:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral dupla
. Isso envolve o conceito de integração dupla, onde a gente integra uma função em duas variáveis, nesse caso
e
. Vamos precisar usar integração iterada, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Além disso, vamos precisar saber como integrar funções que envolvem o logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é
. Como estamos integrando em relação a
, a
é uma constante e pode ser tirada de fora da integral:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. A antiderivada de
em relação a
é
. Então, avaliamos de 0 até
:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão original:
Passo 5
Agora, precisamos integrar essa express��o em relação a
, de 1 a 2:
Passo 6
Para integrar
, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:
Passo 7
Aplicando a fórmula:
Passo 8
Calculando a integral restante:
Portanto:
Passo 9
Voltando à nossa integral original:
Passo 10
Avaliando nos limites de 1 a 2:
Para
:
Para
:
Passo 11
Subtraindo os dois resultados:
Multiplicando por
:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
a)
a)
Calcule as seguintes integrais:
b)
b)
Calcule as seguintes integrais:
h)
h)
Calcule
, onde:
d) e
d)