Calcule as seguintes integrais:
e) integral1^2 integral0^x y ln (x) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla . Isso envolve o conceito de integração dupla, onde a gente integra uma função em duas variáveis, nesse caso e . Vamos precisar usar integração iterada, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Além disso, vamos precisar saber como integrar funções que envolvem o logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é integral0^x y ln (x) , dy = ln(x) integral0^x y , dy . Como estamos integrando em relação a , a é uma constante e pode ser tirada de fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos calcular integral0^x y , dy = [ y^22 ]0^x = x^22 - 0 = x^22 . A antiderivada de em relação a é . Então, avaliamos de 0 até :

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:
integral0^x y ln (x) , dy = ln(x) cdot x^22 = x^2 ln(x)2

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa express��o em relação a integral1^2 x^2 ln(x)2 , dx = 12 integral1^2 x^2 ln(x) , dx , de 1 a 2:

Passo 6

Para integrar integral u , dv = uv - integral v , du , vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:

Passo 7

Aplicando a fórmula:
integral x^2 ln(x) , dx = x^33 ln(x) - integral x^33 cdot 1x , dx = x^33 ln(x) - 13 integral x^2 , dx

Passo 8

Calculando a integral restante:
integral x^2 , dx = x^33 + C
Portanto:
integral x^2 ln(x) , dx = x^33 ln(x) - 13 cdot x^33 = x^33 ln(x) - x^39

Passo 9

Voltando à nossa integral original:
12 integral1^2 x^2 ln(x) , dx = 12 [ x^33 ln(x) - x^39 ]1^2

Passo 10

Avaliando nos limites de 1 a 2:
Para 2^33 ln(2) - 2^39 = 83 ln(2) - 89 :
1^33 ln(1) - 1^39 = 0 - 19 = -19
Para :

Passo 11

Subtraindo os dois resultados:
( 83 ln(2) - 89 ) - ( -19 ) = 83 ln(2) - 79
Multiplicando por 12 ( 83 ln(2) - 79 ) = 43 ln(2) - 718 :

Resposta

43 ln(2) - 718

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