Calcule as seguintes integrais:
e)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla . Isso envolve o conceito de integração dupla, onde a gente integra uma função em duas variáveis, nesse caso e . Vamos precisar usar integração iterada, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Além disso, vamos precisar saber como integrar funções que envolvem o logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é . Como estamos integrando em relação a , a é uma constante e pode ser tirada de fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos calcular . A antiderivada de em relação a é . Então, avaliamos de 0 até :

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa express��o em relação a , de 1 a 2:

Passo 6

Para integrar , vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:

Passo 7

Aplicando a fórmula:

Passo 8

Calculando a integral restante:
Portanto:

Passo 9

Voltando à nossa integral original:

Passo 10

Avaliando nos limites de 1 a 2:
Para :
Para :

Passo 11

Subtraindo os dois resultados:
Multiplicando por :

Resposta

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Calcule as seguintes integrais:
a)
Calcule as seguintes integrais:
b)
Calcule as seguintes integrais:
h)
Calcule , onde:
d) e