Calcule a integral integral duplaR x+y d A, onde R é a região compreendida entre as curvas x^2+1 e 2 x. Identifique que tipo de região estamos tratando e esboce o desenho da figura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integral duplaR (x + y) , dA. O enunciado pede pra gente achar essa integral sobre a região R, que está entre as curvas y = x^2 + 1 e y = 2x. Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria para identificar a região e calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região R. Temos y = x^2 + 1, que é uma parábola voltada para cima, e y = 2x, que é uma reta. Para saber onde elas se intersectam, igualamos as duas equações:
x^2 + 1 = 2x

Passo 3

Resolvendo a equação x^2 + 1 = 2x, temos:
x^2 - 2x + 1 = 0
Isso simplifica para:
(x - 1)^2 = 0
Então, x = 1. Substituindo de volta na equação y = 2x, quando x = 1, y = 2.

Passo 4

Então, as curvas se intersectam no ponto (1, 2). Agora, vamos esboçar a região R. A parábola y = x^2 + 1 está abaixo da reta y = 2x nesse intervalo, então a região está entre o ponto de interseção e onde a parábola fica abaixo da reta.

Passo 5

Para identificar os limites de integração, observamos que x varia de onde? Na verdade, como as curvas só se intersectam em um ponto (1, 2), precisamos escolher um intervalo para x. Parece que pode haver um erro no enunciado, mas vamos assumir que x varia de 0 a 1, onde a reta está acima da parábola.

Passo 6

Agora, expressamos a integral dupla como uma integral iterada. Integramos primeiro em relação a y, de y = x^2 + 1 até y = 2x, e depois em relação a x, de 0 a 1.
integral0^1 integralx^2 + 1^2x (x + y) , dy , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integralx^2 + 1^2x (x + y) , dy = [ xy + y^22 ]x^2 + 1^2x
Substituindo os limites de integração:
= ( x(2x) + (2x)^22 ) - ( x(x^2 + 1) + (x^2 + 1)^22 )
Simplificando:
= (2x^2 + 2x^2) - (x^3 + x + x^4 + 2x^2 + 12)
= 4x^2 - x^3 - x - x^42 - x^2 - 12
= -x^42 - x^3 + 3x^2 - x - 12

Passo 8

Agora, integramos o resultado acima em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 ( -x^42 - x^3 + 3x^2 - x - 12 ) dx
Integrando termo a termo:
-12 cdot x^55 - x^44 + 3 cdot x^33 - x^22 - 12x g|0^1
Simplificando:
-x^510 - x^44 + x^3 - x^22 - x2 g|0^1

Passo 9

Substituindo x = 1:
-110 - 14 + 1 - 12 - 12 = -110 - 14 + 1 - 1 = -110 - 14 = -720
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
720

Resposta

O valor da integral dupla é 720.

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