Calcule a integral , onde R é a região compreendida entre as curvas e . Identifique que tipo de região estamos tratando e esboce o desenho da figura.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla . O enunciado pede pra gente achar essa integral sobre a região R, que está entre as curvas e . Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria para identificar a região e calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região R. Temos , que é uma parábola voltada para cima, e , que é uma reta. Para saber onde elas se intersectam, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação , temos:
Isso simplifica para:
Então, . Substituindo de volta na equação , quando , .
Passo 4
Então, as curvas se intersectam no ponto (1, 2). Agora, vamos esboçar a região R. A parábola está abaixo da reta nesse intervalo, então a região está entre o ponto de interseção e onde a parábola fica abaixo da reta.
Passo 5
Para identificar os limites de integração, observamos que varia de onde? Na verdade, como as curvas só se intersectam em um ponto (1, 2), precisamos escolher um intervalo para . Parece que pode haver um erro no enunciado, mas vamos assumir que varia de 0 a 1, onde a reta está acima da parábola.
Passo 6
Agora, expressamos a integral dupla como uma integral iterada. Integramos primeiro em relação a , de até , e depois em relação a , de 0 a 1.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Substituindo os limites de integração:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos o resultado acima em relação a de 0 a 1: