Resolva:
, sendo R a região delimitada por
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
, onde a região
está delimitada pelas circunferências
e
. Vamos usar coordenadas polares para resolver isso, já que a região é circular e as coordenadas polares facilitam a integração nesse tipo de área.
Passo 2
Em coordenadas polares, as variáveis
e
são substituídas por
e
, onde
e
. Além disso, o elemento de área diferencial
em coordenadas cartesianas se transforma em
em coordenadas polares. Então, a integral passa a ser:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna em relação a
. A integral fica:
Para resolver essa integral, usamos uma substituição. Seja
, então
, ou seja,
.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Essa é uma integral simples, pois a antiderivada de
é
. Então:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a
:
Passo 6
Multiplicando os resultados das integrais interna e externa, temos:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
. Ache o raio de convergência
Calcule a integral
, onde R é a região compreendida entre as curvas
e
. Identifique que tipo de região estamos tratando e esboce o desenho da figura.
Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
. Ache o raio de convergência
Determine a área da superfície:
A parte da superfície que está entre os planos
,
e
. Resp:
A parte da superfície