Resolva: integral duplaR e^(x^2+y^2) d A, sendo R a região delimitada por x^2+y^2=1 ex x^2+y^2=9.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla integral duplaR e^x^2+y^2 , dA, onde a região R está delimitada pelas circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9. Vamos usar coordenadas polares para resolver isso, já que a região é circular e as coordenadas polares facilitam a integração nesse tipo de área.

Passo 2

Em coordenadas polares, as variáveis x e y são substituídas por r e theta, onde x = rcostheta e y = rsintheta. Além disso, o elemento de área diferencial dA em coordenadas cartesianas se transforma em r,dr,dtheta em coordenadas polares. Então, a integral passa a ser:
integral duplaR e^x^2+y^2 , dA = integral0^2pi integral1^3 e^r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 3

Vamos resolver a integral interna em relação a r. A integral fica:
integral1^3 e^r^2 cdot r , dr
Para resolver essa integral, usamos uma substituição. Seja u = r^2, então du = 2r,dr, ou seja, r,dr = du2.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral1^3 e^r^2 cdot r , dr = 12 integralu=1^u=9 e^u , du
Essa é uma integral simples, pois a antiderivada de e^u é e^u. Então:
12 integral1^9 e^u , du = 12 [ e^u ]1^9 = 12 (e^9 - e^1) = 12 (e^9 - e)

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 6

Multiplicando os resultados das integrais interna e externa, temos:
12 (e^9 - e) cdot 2pi = pi (e^9 - e)

Resposta

O valor da integral dupla é pi ( e^9 - e ).

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