Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
. Ache o raio de convergência
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função
centrada no ponto
. Além disso, vamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender o que é a série de Taylor, como calcular seus coeficientes e determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função
centrada em
é uma soma infinita que aproxima a função perto de
. Ela é dada por:
Aqui,
é a n-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
. A coisa legal do exponencial é que todas as suas derivadas são iguais a ele mesmo. Ou seja:
Isso facilita muito nossos cálculos!
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Então, todos os coeficientes da série de Taylor vão ter
multiplicando cada termo.
Passo 5
Substituindo na fórmula da série de Taylor, temos:
Esse é a série de Taylor da função
centrada em
.
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que, para a série exponencial, a série de Taylor converge para todo valor de
. Matemática falando, o raio de convergência
é infinito:
Isso significa que a série de Taylor vale para qualquer
real.
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito (
).
Exercícios relacionados
Calcule a integral
, onde R é a região compreendida entre as curvas
e
. Identifique que tipo de região estamos tratando e esboce o desenho da figura.
Determine o seno e o cosseno de:
Resolva:
, sendo R a região delimitada por
.
Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
. Ache o raio de convergência