Calcule
, onde
é a região no semiplano superior limitada pelos círculos
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla da função
sobre a região
. Essa região
é a parte do semiplano superior (ou seja, onde
) que fica entre dois círculos: um de raio 1 e outro de raio 2. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares porque a região é circular e isso facilita bastante a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas
para polares
. As fórmulas são:
Também precisamos lembrar que, em coordenadas polares, o elemento de área
vira
. Essas conversões vão ajudar a gente a reescrever a integral na forma mais fácil de calcular.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função
em termos de
e
. Substituindo:
Isso já simplifica a função para termos que são mais fáceis de integrar em coordenadas polares.
Passo 4
Vamos montar a integral dupla com os novos limites e a função convertida. A região
vai de
até
(porque está entre os dois círculos) e de
até
(já que é o semiplano superior). Então, a integral fica:
Note que multiplicamos por
porque
.
Passo 5
Agora, vamos simplificar e separar a integral em duas partes:
Vamos resolver cada integral uma de cada vez.
Passo 6
Começando pela primeira integral:
A integral de
de 0 a
é zero, porque
é simétrica em relação ao eixo y e as áreas positivas e negativas se cancelam.
Passo 7
Agora, a segunda integral:
Vamos resolver cada parte:
Primeiro, a integral de
:
Isso porque
tem média
no intervalo de
a
.
Segundo, a integral de
:
Passo 8
Multiplicando os resultados das integrais:
E lembrando que a primeira integral foi zero, o resultado final é apenas essa parte.
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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Encontre a derivada direcional no ponto
na direção do vetor
, onde
,
Expresse
Calcule: (a)
Determine:
, onde
é um vetor unitário paralelo ao vetor
.