Calcule integral duplaR(3 x+4 y^2) d A, onde R é a região no semiplano superior limitada pelos círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4
R=(r, theta) mid 1 <= r <= 2,0 <= theta <= pi

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla da função sobre a região . Essa região é a parte do semiplano superior (ou seja, onde ) que fica entre dois círculos: um de raio 1 e outro de raio 2. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares porque a região é circular e isso facilita bastante a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas x = r cos theta e y = r sin theta para polares . As fórmulas são:
Também precisamos lembrar que, em coordenadas polares, o elemento de área vira . Essas conversões vão ajudar a gente a reescrever a integral na forma mais fácil de calcular.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função 3x + 4y^2 = 3(r cos theta) + 4(r sin theta)^2 = 3r cos theta + 4r^2 sin^2 theta em termos de e . Substituindo:
Isso já simplifica a função para termos que são mais fáceis de integrar em coordenadas polares.

Passo 4

Vamos montar a integral dupla com os novos limites e a função convertida. A região integral duplaR (3x + 4y^2) , dA = integral0^pi integral1^2 (3r cos theta + 4r^2 sin^2 theta) r , dr , dtheta vai de até (porque está entre os dois círculos) e de até (já que é o semiplano superior). Então, a integral fica:
Note que multiplicamos por porque .

Passo 5

Agora, vamos simplificar e separar a integral em duas partes:
integral0^pi integral1^2 3r^2 cos theta , dr , dtheta + integral0^pi integral1^2 4r^3 sin^2 theta , dr , dtheta
Vamos resolver cada integral uma de cada vez.

Passo 6

Começando pela primeira integral:
integral0^pi cos theta , dtheta cdot integral1^2 3r^2 , dr
A integral de de 0 a é zero, porque é simétrica em relação ao eixo y e as áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 7

Agora, a segunda integral:
integral0^pi sin^2 theta , dtheta cdot integral1^2 4r^3 , dr
Vamos resolver cada parte:
Primeiro, a integral de integral0^pi sin^2 theta , dtheta = pi2 :
integral1^2 4r^3 , dr = 4 [ r^44 ]1^2 = [ r^4 ]1^2 = 16 - 1 = 15
Isso porque tem média no intervalo de a .
Segundo, a integral de :

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais:
pi2 times 15 = 15pi2
E lembrando que a primeira integral foi zero, o resultado final é apenas essa parte.

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados