Calcule , onde é a região no semiplano superior limitada pelos círculos

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla da função sobre a região . Essa região é a parte do semiplano superior (ou seja, onde ) que fica entre dois círculos: um de raio 1 e outro de raio 2. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares porque a região é circular e isso facilita bastante a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para polares . As fórmulas são:
Também precisamos lembrar que, em coordenadas polares, o elemento de área vira . Essas conversões vão ajudar a gente a reescrever a integral na forma mais fácil de calcular.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função em termos de e . Substituindo:
Isso já simplifica a função para termos que são mais fáceis de integrar em coordenadas polares.

Passo 4

Vamos montar a integral dupla com os novos limites e a função convertida. A região vai de até (porque está entre os dois círculos) e de até (já que é o semiplano superior). Então, a integral fica:
Note que multiplicamos por porque .

Passo 5

Agora, vamos simplificar e separar a integral em duas partes:
Vamos resolver cada integral uma de cada vez.

Passo 6

Começando pela primeira integral:
A integral de de 0 a é zero, porque é simétrica em relação ao eixo y e as áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 7

Agora, a segunda integral:
Vamos resolver cada parte:
Primeiro, a integral de :
Isso porque tem média no intervalo de a .
Segundo, a integral de :

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais:
E lembrando que a primeira integral foi zero, o resultado final é apenas essa parte.

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Encontre a derivada direcional no ponto na direção do vetor , onde
,
Expresse
Calcule: (a)
Determine: , onde é um vetor unitário paralelo ao vetor .