Calcule: (a) integral0^1 dd x(e^arctg x) d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de de 0 a 1. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e derivadas. Para resolver isso, vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo, que relaciona integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função da qual estamos tomando a derivada. Temos . A derivada dessa função em relação a é .

Passo 3

Segundo o teorema fundamental do cálculo, a integral da derivada de uma função entre dois pontos é igual à diferença dos valores da função nesses pontos. Ou seja,
integrala^b ddx f(x) , dx = f(b) - f(a)

Passo 4

Aplicando esse teorema ao nosso caso, temos:
integral0^1 ddx(e^arctan x) dx = e^arctan(1) - e^arctan(0)

Passo 5

Agora, vamos calcular e :
  • porque a tangente de é 1.
  • porque a tangente de 0 é 0.

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão:
e^arctan(1) - e^arctan(0) = e^pi4 - e^0
Sabemos que .

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
e^pi4 - 1

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