Encontre a derivada direcional no ponto
na direção do vetor
, onde
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função
em três pontos diferentes, cada um com sua direção específica. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas direcionais, gradientes e como trabalhar com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor
nos mostra a taxa de variação da função nessa direção específica. Para calcular isso, usamos o gradiente da função no ponto e o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
O gradiente de uma função
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja,
Vamos calcular as derivadas parciais da nossa função
:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, para cada ponto
e vetor
, vamos seguir os seguintes passos:
- Calcular o gradiente no ponto
. - Normalizar o vetor
para obter o vetor unitário na direção desejada. - Calcular a derivada direcional como o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário.
Vamos fazer isso para cada caso.
Passo 5
Caso 1:
e
- Calculando o gradiente em
:
- Normalizando o vetor
:
- Calculando a derivada direcional:
Caso 2:
e
- Calculando o gradiente em
:
- Normalizando o vetor
:
- Calculando a derivada direcional:
Caso 3:
e
- Calculando o gradiente em
:
- Normalizando o vetor
:
- Calculando a derivada direcional:
Resposta
As derivadas direcionais são:
- Para
e :
- Para
e :
- Para
e :
Exercícios relacionados
Expresse
Calcule
, onde
é a região no semiplano superior limitada pelos círculos
Calcule: (a)