Encontre a derivada direcional no ponto na direção do vetor , onde
,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função em três pontos diferentes, cada um com sua direção específica. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas direcionais, gradientes e como trabalhar com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor nos mostra a taxa de variação da função nessa direção específica. Para calcular isso, usamos o gradiente da função no ponto e o vetor unitário na direção de .

Passo 3

O gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Vamos calcular as derivadas parciais da nossa função :
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, para cada ponto e vetor , vamos seguir os seguintes passos:
  1. Calcular o gradiente no ponto .
  2. Normalizar o vetor para obter o vetor unitário na direção desejada.
  3. Calcular a derivada direcional como o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário.
Vamos fazer isso para cada caso.

Passo 5

Caso 1: e

  1. Calculando o gradiente em :
  1. Normalizando o vetor :
  1. Calculando a derivada direcional:

Caso 2: e

  1. Calculando o gradiente em :
  1. Normalizando o vetor :
  1. Calculando a derivada direcional:

Caso 3: e

  1. Calculando o gradiente em :
  1. Normalizando o vetor :
  1. Calculando a derivada direcional:

Resposta

As derivadas direcionais são:
  1. Para e :
  1. Para e :
  1. Para e :

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Expresse
Calcule , onde é a região no semiplano superior limitada pelos círculos
Calcule: (a)