Determine:
, onde
é um vetor unitário paralelo ao vetor
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a derivada direcional de uma função
no ponto
na direção de um vetor unitário
que é paralelo ao vetor
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores unitários e derivadas direcionais.
Passo 2
Para encontrar a derivada direcional
, primeiro precisamos determinar o vetor unitário
que está na mesma direção do vetor
.
Passo 3
Um vetor unitário na direção de
é obtido dividindo
pela sua norma. A norma de um vetor
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 5
A derivada direcional
é calculada como o produto escalar do gradiente da função
no ponto
com o vetor unitário
:
Onde o gradiente
é o vetor das derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
.
Passo 6
Substituindo
na expressão da derivada direcional:
Resposta
A derivada direcional
é igual a:
Exercícios relacionados
Calcule: (a)
Calcule
, onde
é a região no semiplano superior limitada pelos círculos
Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.
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