Determine: , onde é um vetor unitário paralelo ao vetor .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a derivada direcional de uma função no ponto na direção de um vetor unitário que é paralelo ao vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores unitários e derivadas direcionais.

Passo 2

Para encontrar a derivada direcional , primeiro precisamos determinar o vetor unitário que está na mesma direção do vetor .

Passo 3

Um vetor unitário na direção de é obtido dividindo pela sua norma. A norma de um vetor é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

A derivada direcional é calculada como o produto escalar do gradiente da função no ponto com o vetor unitário :
Onde o gradiente é o vetor das derivadas parciais de em relação a e no ponto .

Passo 6

Substituindo na expressão da derivada direcional:

Resposta

A derivada direcional é igual a:

Exercícios relacionados

Calcule: (a)
Calcule , onde é a região no semiplano superior limitada pelos círculos
Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.
©