Expresse

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressarmos o limite de uma soma envolvendo a função seno. Isso pertence à matéria de Cálculo, especificamente à parte de somas de Riemann e integrais. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração como limite de somas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma de Riemann. Quando dividimos um intervalo em partes iguais, cada parte tem largura . Os pontos são pontos dentro de cada subintervalo onde avaliamos a função.

Passo 3

No nosso caso, a soma é . Conforme aumenta (ou seja, fica menor), essa soma se aproxima da área sob a curva da função entre e .

Passo 4

O limite dessa soma, quando tende ao infinito, é exatamente a definição da integral definida da função de a . Ou seja:

Resposta

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Mostre que a solução de , e , é
Encontre a derivada direcional no ponto na direção do vetor , onde
,
Calcule , onde é a região no semiplano superior limitada pelos círculos