Calcule integral duplaR x^2 raiz9-y^2 d A, R é a região limitada pela circunferência x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla , onde é a região limitada pela circunferência . Basicamente, estamos trabalhando com cálculo integral sobre uma área circular de raio 3 (já que ). Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares e entender como transformar funções e áreas para esse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A circunferência representa um círculo com raio 3 centrado na origem. Nas coordenadas polares, qualquer ponto nesse círculo pode ser representado por , onde e varia de a .

Passo 3

Agora, vamos converter a função x = r costheta e y = r sintheta para coordenadas polares. Sabemos que:
x^2 = r^2 cos^2theta
Substituindo na função:
raiz9 - y^2 = raiz9 - r^2 sin^2theta
x^2 raiz9 - y^2 = r^2 cos^2theta cdot raiz9 - r^2 sin^2theta
Então, a função em coordenadas polares fica:

Passo 4

Lembrando que, em coordenadas polares, o elemento de área integral duplaR x^2 raiz9 - y^2 , dA = integral0^2pi integral0^3 r^2 cos^2theta cdot raiz9 - r^2 sin^2theta cdot r , dr , dtheta se transforma em integral0^2pi integral0^3 r^3 cos^2theta cdot raiz9 - r^2 sin^2theta , dr , dtheta . Portanto, nossa integral dupla passa a ser:
Simplificando:

Passo 5

Essa integral parece complicada, então vamos procurar simplificações. Observando a função , notamos que ela depende de , o que torna a integração difícil. Vamos tentar mudar a ordem de integração ou buscar uma substituição que facilite.
Mas, como alternativa, podemos observar que a expressão sugere que estamos lidando com uma função que relaciona a uma semicírculo. Isso pode indicar que integrar em coordenadas cartesianas pode ser mais direto.

Passo 6

Vamos então retornar às coordenadas cartesianas. A região x = pmraiz9 - y^2 é o círculo . Para facilitar a integração, podemos expressar em função de :
Então, para cada valor de entre e , varia de a .

Passo 7

A integral dupla em coordenadas cartesianas fica assim:
integral-3^3 integral-raiz9 - y^2^raiz9 - y^2 x^2 raiz9 - y^2 , dx , dy
Podemos observar que a função 2 integral-3^3 integral0^raiz9 - y^2 x^2 raiz9 - y^2 , dx , dy é par em relação a , então a integral de a será duas vezes a integral de a :

Passo 8

Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a integral0^raiz9 - y^2 x^2 raiz9 - y^2 , dx :
raiz9 - y^2 integral0^raiz9 - y^2 x^2 , dx
Aqui, raiz9 - y^2 [ x^33 ]0^raiz9 - y^2 = raiz9 - y^2 cdot ( raiz9 - y^2 )^33 = (9 - y^2)^23 é constante em relação a , então podemos tirar esse termo da integral:
Integrando em relação a :

Passo 9

Agora, substituímos de volta na integral externa:
2 integral-3^3 (9 - y^2)^23 , dy = 23 integral-3^3 (9 - y^2)^2 , dy
Expandindo (9 - y^2)^2 = 81 - 18y^2 + y^4 :
23 integral-3^3 (81 - 18y^2 + y^4) , dy
Então, a integral fica:

Passo 10

Como a função 23 cdot 2 integral0^3 (81 - 18y^2 + y^4) , dy = 43 integral0^3 (81 - 18y^2 + y^4) , dy é par (simétrica em relação ao eixo ), podemos integrar de a e dobrar:

Passo 11

Integrando termo a termo:
integral (81 - 18y^2 + y^4) , dy = 81y - 6y^3 + y^55
Avaliado de 81(3) - 6(3)^3 + (3)^55 = 243 - 162 + 2435 = 81 + 48.6 = 129.6 a :

Passo 12

Agora, multiplicando pelos fatores anteriores:
43 times 129.6 = 4 times 129.63 = 518.43 = 172.8

Resposta

O valor da integral dupla é 172,8.

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