Calcule é a região limitada pela circunferência .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla , onde é a região limitada pela circunferência . Basicamente, estamos trabalhando com cálculo integral sobre uma área circular de raio 3 (já que ). Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares e entender como transformar funções e áreas para esse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A circunferência representa um círculo com raio 3 centrado na origem. Nas coordenadas polares, qualquer ponto nesse círculo pode ser representado por , onde e varia de a .

Passo 3

Agora, vamos converter a função para coordenadas polares. Sabemos que:
Substituindo na função:
Então, a função em coordenadas polares fica:

Passo 4

Lembrando que, em coordenadas polares, o elemento de área se transforma em . Portanto, nossa integral dupla passa a ser:
Simplificando:

Passo 5

Essa integral parece complicada, então vamos procurar simplificações. Observando a função , notamos que ela depende de , o que torna a integração difícil. Vamos tentar mudar a ordem de integração ou buscar uma substituição que facilite.
Mas, como alternativa, podemos observar que a expressão sugere que estamos lidando com uma função que relaciona a uma semicírculo. Isso pode indicar que integrar em coordenadas cartesianas pode ser mais direto.

Passo 6

Vamos então retornar às coordenadas cartesianas. A região é o círculo . Para facilitar a integração, podemos expressar em função de :
Então, para cada valor de entre e , varia de a .

Passo 7

A integral dupla em coordenadas cartesianas fica assim:
Podemos observar que a função é par em relação a , então a integral de a será duas vezes a integral de a :

Passo 8

Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a :
Aqui, é constante em relação a , então podemos tirar esse termo da integral:
Integrando em relação a :

Passo 9

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Expandindo :
Então, a integral fica:

Passo 10

Como a função é par (simétrica em relação ao eixo ), podemos integrar de a e dobrar:

Passo 11

Integrando termo a termo:
Avaliado de a :

Passo 12

Agora, multiplicando pelos fatores anteriores:

Resposta

O valor da integral dupla é 172,8.

Exercícios relacionados

Calcule
Calcule . (1/5)
Calcule .
Determine o volume do sólido contido abaixo do parabolóide circular e acima do retângulo .