Calcule
é a região limitada pela circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde
é a região limitada pela circunferência
. Basicamente, estamos trabalhando com cálculo integral sobre uma área circular de raio 3 (já que
). Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares e entender como transformar funções e áreas para esse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A circunferência
representa um círculo com raio 3 centrado na origem. Nas coordenadas polares, qualquer ponto nesse círculo pode ser representado por
, onde
e
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos converter a função
para coordenadas polares. Sabemos que:
Substituindo na função:
Então, a função em coordenadas polares fica:
Passo 4
Lembrando que, em coordenadas polares, o elemento de área
se transforma em
. Portanto, nossa integral dupla passa a ser:
Simplificando:
Passo 5
Essa integral parece complicada, então vamos procurar simplificações. Observando a função
, notamos que ela depende de
, o que torna a integração difícil. Vamos tentar mudar a ordem de integração ou buscar uma substituição que facilite.
Mas, como alternativa, podemos observar que a expressão
sugere que estamos lidando com uma função que relaciona
a uma semicírculo. Isso pode indicar que integrar em coordenadas cartesianas pode ser mais direto.
Passo 6
Vamos então retornar às coordenadas cartesianas. A região
é o círculo
. Para facilitar a integração, podemos expressar
em função de
:
Então, para cada valor de
entre
e
,
varia de
a
.
Passo 7
A integral dupla em coordenadas cartesianas fica assim:
Podemos observar que a função
é par em relação a
, então a integral de
a
será duas vezes a integral de
a
:
Passo 8
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a
:
Aqui,
é constante em relação a
, então podemos tirar esse termo da integral:
Integrando
em relação a
:
Passo 9
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Expandindo
:
Então, a integral fica:
Passo 10
Como a função
é par (simétrica em relação ao eixo
), podemos integrar de
a
e dobrar:
Passo 11
Integrando termo a termo:
Avaliado de
a
:
Passo 12
Agora, multiplicando pelos fatores anteriores:
Resposta
O valor da integral dupla é 172,8.
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. (1/5)
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.
Determine o volume do sólido contido abaixo do parabolóide circular
e acima do retângulo
.