Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla: , e depois multiplicar esse resultado por . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, que envolvem duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a , e por último fazer a multiplicação indicada.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna . Integrar é algo que já conhecemos da derivada: a integral de em relação a é .
Então,
Aqui, é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos calcular entre os limites 0 e 1.

Passo 3

Aplicando os limites na integral interna:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa . Note que é uma constante em relação a , então a integral de uma constante em relação a de 0 a é simplesmente a constante multiplicada pelo intervalo de integração.
Então,

Passo 5

Agora, temos que multiplicar esse resultado por . Vamos fazer essa multiplicação:
Primeiro, simplifiquemos :
Agora, substituímos de volta:

Resposta

O valor final da expressão é .

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Calcule .