Calcule integral0^pi integral0^1 sen(x) d x d y cdot(-cos (1) pi+pi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla: , e depois multiplicar esse resultado por . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, que envolvem duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a , e por último fazer a multiplicação indicada.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna integral sin(x) , dx = -cos(x) + C . Integrar é algo que já conhecemos da derivada: a integral de em relação a é .
Então,
Aqui, é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos calcular entre os limites 0 e 1.

Passo 3

Aplicando os limites na integral interna:
integral0^1 sin(x) , dx = [-cos(x)]0^1 = -cos(1) - (-cos(0)) = -cos(1) + cos(0)
Sabemos que -cos(1) + 1 , então:

Passo 4

Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa integral0^pi [ -cos(1) + 1 ] , dy = [ -cos(1) + 1 ] cdot (pi - 0) = [ -cos(1) + 1 ] cdot pi . Note que é uma constante em relação a , então a integral de uma constante em relação a de 0 a é simplesmente a constante multiplicada pelo intervalo de integração.
Então,

Passo 5

Agora, temos que multiplicar esse resultado por [ -cos(1) + 1 ] cdot pi cdot [ -cos(1) cdot pi + pi ] . Vamos fazer essa multiplicação:
- cos(1) cdot pi + pi = pi ( - cos(1) + 1 ) = pi [1 - cos(1)]
Primeiro, simplifiquemos [ -cos(1) + 1 ] cdot pi cdot pi [1 - cos(1)] = pi^2 (1 - cos(1))^2 :
Agora, substituímos de volta:

Resposta

O valor final da expressão é .

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