Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla:
, e depois multiplicar esse resultado por
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, que envolvem duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função
primeiro em relação a
e depois em relação a
, e por último fazer a multiplicação indicada.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna
. Integrar
é algo que já conhecemos da derivada: a integral de
em relação a
é
.
Então,
Aqui,
é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos calcular entre os limites 0 e 1.
Passo 3
Aplicando os limites na integral interna:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa
. Note que
é uma constante em relação a
, então a integral de uma constante em relação a
de 0 a
é simplesmente a constante multiplicada pelo intervalo de integração.
Então,
Passo 5
Agora, temos que multiplicar esse resultado por
. Vamos fazer essa multiplicação:
Primeiro, simplifiquemos
:
Agora, substituímos de volta:
Resposta
O valor final da expressão é
.
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é a região limitada pela circunferência
.
Calcule
.