Calcule integral0^1 integraly^2^y raizy / x d x d y. (1/5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções em duas variáveis e seguir os limites de integração dados. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem de integração. A integral está na forma , o que significa que para cada valor de entre 0 e 1, varia de até . Vamos primeiro integrar em relação a .

Passo 3

Vamos focar na parte interna da integral: raizyx = raizy cdot 1raizx = y^1/2 cdot x^-1/2 . Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
integraly^2^y y^1/2 cdot x^-1/2 , dx
Agora, a integral fica:
y^1/2 integraly^2^y x^-1/2 , dx
Como é uma constante em relação a , podemos tirar para fora da integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral x^-1/2 , dx = x^(-1/2)+1(-1/2)+1 + C = x^1/21/2 + C = 2x^1/2 + C em relação a 2y^1/2 [ x^1/2 ]y^2^y = 2y^1/2 ( y^1/2 - (y^2)^1/2 ) = 2y^1/2 ( y^1/2 - y ) . A integral de 2y^1/2 cdot y^1/2 - 2y^1/2 cdot y = 2y - 2y^3/2 é quando . Aqui, , então:
Aplicando os limites de a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, voltamos à integral externa:
integral0^1 (2y - 2y^3/2) , dy
Vamos integrar termo a termo. A integral de 2 cdot integral y , dy = 2 cdot y^22 = y^2 é:
2 cdot integral y^3/2 , dy = 2 cdot y^5/25/2 = 45y^5/2
E a integral de y^2 - 45y^5/2 é:
[1^2 - 45 cdot 1^5/2] - [0 - 45 cdot 0] = 1 - 45 = 15
Portanto, a integral total é:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

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