Calcule
. (1/5)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções em duas variáveis e seguir os limites de integração dados. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a ordem de integração. A integral está na forma
, o que significa que para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de
até
. Vamos primeiro integrar em relação a
.
Passo 3
Vamos focar na parte interna da integral:
. Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Agora, a integral fica:
Como
é uma constante em relação a
, podemos tirar para fora da integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
. A integral de
é
quando
. Aqui,
, então:
Aplicando os limites de
a
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, voltamos à integral externa:
Vamos integrar termo a termo. A integral de
é:
E a integral de
é:
Portanto, a integral total é:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Resposta
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. (1/7)
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Calcule
é a região limitada pela circunferência
.