Determine o volume do sólido contido abaixo do parabolóide circular e acima do retângulo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está abaixo do parabolóide circular e acima do retângulo . Vamos usar cálculo integral para isso, especificamente integrais duplas, que são ótimas para calcular volumes de regiões como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o parabolóide . Esse gráfico forma uma superfície que se abre para cima, e a gente quer saber o volume que está abaixo dessa superfície e acima do retângulo .

Passo 3

O retângulo indica que varia de -2 a 2 e varia de -3 a 3. Vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, é a função que define o parabolóide.

Passo 4

Vamos integrar primeiro em relação a . A integral interna é:
Integrando termo a termo:
Então, a integral interna fica:

Passo 5

Vamos avaliar essa expressão nos limites de e :
Para :
Para :
Subtraindo os dois resultados:

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a :
Integrando termo a termo:
Então, a integral se torna:

Passo 7

Vamos avaliar essa expressão nos limites de e :
Para :
Para :
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

O volume do sólido é igual a unidades cúbicas.

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