Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral dupla de sobre a região definida por e . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente integração dupla. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender as propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral dupla que temos:
Onde a região é um retângulo no plano com limites para de a e para de a .
Passo 3
Vamos resolver essa integral iteradamente, ou seja, primeiro integramos em relação a uma variável e depois na outra. Vamos começar integrando em relação a . Então, podemos reescrever a integral como:
Passo 4
Focando na integral interna:
Aqui, é tratado como uma constante em relação a . A integral de em relação a é:
Então, multiplicando por , temos:
Passo 5
Vamos calcular os limites:
Para :
Sabemos que , então:
Para :
Subtraindo:
Passo 6
Agora, voltamos à integral externa:
Vamos separar em duas integrais:
Passo 7
Vamos calcular cada uma separadamente. Começando com , usamos integração por partes onde:
Aplicando:
Avaliado de a :
Passo 8
Agora, para , novamente usamos integração por partes: