Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral dupla de sobre a região definida por e . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente integração dupla. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender as propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral dupla que temos:
Onde a região é um retângulo no plano com limites para de a e para de a .

Passo 3

Vamos resolver essa integral iteradamente, ou seja, primeiro integramos em relação a uma variável e depois na outra. Vamos começar integrando em relação a . Então, podemos reescrever a integral como:

Passo 4

Focando na integral interna:
Aqui, é tratado como uma constante em relação a . A integral de em relação a é:
Então, multiplicando por , temos:

Passo 5

Vamos calcular os limites:
Para :
Sabemos que , então:
Para :
Subtraindo:

Passo 6

Agora, voltamos à integral externa:
Vamos separar em duas integrais:

Passo 7

Vamos calcular cada uma separadamente. Começando com , usamos integração por partes onde:
Aplicando:
Avaliado de a :

Passo 8

Agora, para , novamente usamos integração por partes:
Aplicando:
Avaliado de a :

Passo 9

Somando as duas integrais:

Resposta

A integral dupla vale .

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Calcule é a região limitada pela circunferência .
Calcule
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Calcule .