Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral dupla de sobre a região definida por e . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente integração dupla. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender as propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral dupla que temos:
Onde a região é um retângulo no plano com limites para de a e para de a .
Passo 3
Vamos resolver essa integral iteradamente, ou seja, primeiro integramos em relação a uma variável e depois na outra. Vamos começar integrando em relação a . Então, podemos reescrever a integral como:
Passo 4
Focando na integral interna:
Aqui, é tratado como uma constante em relação a . A integral de em relação a é:
Então, multiplicando por , temos:
Passo 5
Vamos calcular os limites:
Para - x cdot cos(x + pi2) :
- x cdot (-sen(x)) = x cdot sen(x)
Sabemos que , então:
Para - x cdot cos(x) :
x cdot sen(x) - (-x cdot cos(x)) = x cdot sen(x) + x cdot cos(x)
Subtraindo:
Passo 6
Agora, voltamos à integral externa:
Vamos separar em duas integrais:
Passo 7
Vamos calcular cada uma separadamente. Começando com , usamos integração por partes onde:
u = x Rightarrow du = dx
Aplicando:
Avaliado de dv = sen(x) , dx Rightarrow v = -cos(x) a - x cdot cos(x) + integral cos(x) , dx = -x cdot cos(x) + sen(x) :
Passo 8
Agora, para u = x Rightarrow du = dx , novamente usamos integração por partes:
dv = cos(x) , dx Rightarrow v = sen(x)
Aplicando:
Avaliado de x cdot sen(x) - integral sen(x) , dx = x cdot sen(x) + cos(x) a pi cdot sen(pi) + cos(pi) - [0 cdot sen(0) + cos(0)] = 0 + (-1) - (0 + 1) = -2 :