Calcule integral duplaR x sen(x+y) d A, R=(x, y) mid 0 <= x <= pi, 0 <= y <= pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral dupla de sobre a região definida por e . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente integração dupla. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender as propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral dupla que temos:
Onde a região integral duplaR x cdot sen(x + y) , dA é um retângulo no plano com limites para de a e para de a .

Passo 3

Vamos resolver essa integral iteradamente, ou seja, primeiro integramos em relação a uma variável e depois na outra. Vamos começar integrando em relação a integral0^pi ( integral0^pi2 x cdot sen(x + y) , dy ) dx . Então, podemos reescrever a integral como:

Passo 4

Focando na integral interna:
Aqui, integral0^pi2 x cdot sen(x + y) , dy é tratado como uma constante em relação a - cos(x + y) + C . A integral de em relação a - x cdot cos(x + y) |0^pi2 é:
Então, multiplicando por , temos:

Passo 5

Vamos calcular os limites:
Para - x cdot cos(x + pi2) :
- x cdot (-sen(x)) = x cdot sen(x)
Sabemos que , então:
Para - x cdot cos(x) :
x cdot sen(x) - (-x cdot cos(x)) = x cdot sen(x) + x cdot cos(x)
Subtraindo:

Passo 6

Agora, voltamos à integral externa:
Vamos separar em duas integrais:

Passo 7

Vamos calcular cada uma separadamente. Começando com , usamos integração por partes onde:
u = x Rightarrow du = dx
Aplicando:
Avaliado de dv = sen(x) , dx Rightarrow v = -cos(x) a - x cdot cos(x) + integral cos(x) , dx = -x cdot cos(x) + sen(x) :

Passo 8

Agora, para u = x Rightarrow du = dx , novamente usamos integração por partes:
dv = cos(x) , dx Rightarrow v = sen(x)
Aplicando:
Avaliado de x cdot sen(x) - integral sen(x) , dx = x cdot sen(x) + cos(x) a pi cdot sen(pi) + cos(pi) - [0 cdot sen(0) + cos(0)] = 0 + (-1) - (0 + 1) = -2 :

Passo 9

Somando as duas integrais:
pi + (-2) = pi - 2

Resposta

A integral dupla vale .

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