Calcule a integral , onde é a região do plano limitada pelas curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é limitada pelas curvas , , e . Para isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando trabalhamos com círculos e integrais envolvendo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que definem a região . As equações e representam círculos. Podemos reescrever essas equações para facilitar:
  • : um círculo com centro em e raio 1.
  • : um círculo com centro em e raio 2.
As linhas e são retas que passam pela origem, formando ângulos diferentes com o eixo .

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Nessas coordenadas, , então a integral fica mais simples:
Aqui, o extra vem do Jacobiano da transformação para coordenadas polares ( ).

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Observando as curvas:
  • Para os círculos:
    • se torna .
    • se torna .
  • Para as retas:
    • se torna .
    • se torna .
Então, varia de a , e para cada nesse intervalo, varia de a .

Passo 5

Agora que temos os limites, vamos montar a integral:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a :
Para integrar , podemos usar a identidade e fazer uma substituição:
A integral se torna:

Passo 7

Voltando à nossa integral:
Calculando os valores trigonométricos:
Substituindo na expressão:
Simplificando:

Resposta

A integral dupla vale .

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Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro os planos
Represente geometricamente e determine a área limitada pela curvas ,
e pelas retas e .
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
quando
Utilize a Equação 6 para determinar .