Calcule a integral
, onde
é a região do plano limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é limitada pelas curvas
,
,
e
. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando trabalhamos com círculos e integrais envolvendo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que definem a região
. As equações
e
representam círculos. Podemos reescrever essas equações para facilitar:
-
: um círculo com centro em e raio 1. -
: um círculo com centro em e raio 2.
As linhas
e
são retas que passam pela origem, formando ângulos diferentes com o eixo
.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. Nessas coordenadas,
, então a integral fica mais simples:
Aqui, o
extra vem do Jacobiano da transformação para coordenadas polares (
).
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Observando as curvas:
-
Para os círculos:
-
se torna . -
se torna .
-
-
Para as retas:
-
se torna . -
se torna .
-
Então,
varia de
a
, e para cada
nesse intervalo,
varia de
a
.
Passo 5
Agora que temos os limites, vamos montar a integral:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Para integrar
, podemos usar a identidade
e fazer uma substituição:
A integral se torna:
Passo 7
Voltando à nossa integral:
Calculando os valores trigonométricos:
Substituindo na expressão:
Simplificando:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro
os planos
Represente geometricamente e determine a área limitada pela curvas
,
e pelas retas
e
.
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
quando
Utilize a Equação 6 para determinar
.