Calcule a integral integral duplaR raizx^2+y^2 d x d y, onde R é a região do plano limitada pelas curvas x^2+y^2=2 x, x^2+y^2=4 x, y=x e y=raiz33 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é limitada pelas curvas , , e . Para isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando trabalhamos com círculos e integrais envolvendo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que definem a região . As equações e representam círculos. Podemos reescrever essas equações para facilitar:
  • : um círculo com centro em e raio 1.
  • : um círculo com centro em e raio 2.
As linhas e são retas que passam pela origem, formando ângulos diferentes com o eixo .

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas polares, onde integral duplaR raizx^2+y^2 , dx , dy = integral duplaR r cdot r , dr , dtheta = integral duplaR r^2 , dr , dtheta e . Nessas coordenadas, , então a integral fica mais simples:
Aqui, o extra vem do Jacobiano da transformação para coordenadas polares ( ).

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Observando as curvas:
  • Para os círculos:
    • se torna .
    • se torna .
  • Para as retas:
    • se torna .
    • se torna .
Então, varia de a , e para cada nesse intervalo, varia de a .

Passo 5

Agora que temos os limites, vamos montar a integral:
integraltheta=pi6^pi4 integralr=2costheta^4costheta r^2 , dr , dtheta
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a integral2costheta^4costheta r^2 , dr = [ r^33 ]2costheta^4costheta = (4costheta)^33 - (2costheta)^33 = 64cos^3theta - 8cos^3theta3 = 56cos^3theta3 :

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a integralpi6^pi4 56cos^3theta3 , dtheta = 563 integralpi6^pi4 cos^3theta , dtheta :
u = sintheta Rightarrow du = costheta , dtheta
Para integrar integral cos^3theta , dtheta = integral costheta (1 - sin^2theta) , dtheta = integral (1 - u^2) , du = u - u^33 + C = sintheta - sin^3theta3 + C , podemos usar a identidade e fazer uma substituição:
A integral se torna:

Passo 7

Voltando à nossa integral:
563 [ sintheta - sin^3theta3 ]pi6^pi4 = 563 ( ( sinpi4 - sin^3pi43 ) - ( sinpi6 - sin^3pi63 ) )
Calculando os valores trigonométricos:
sinpi4 = raiz22, sinpi6 = 12
sin^3pi4 = ( raiz22 )^3 = 2raiz28 = raiz24
sin^3pi6 = ( 12 )^3 = 18
Substituindo na expressão:
563 ( ( raiz22 - raiz212 ) - ( 12 - 124 ) ) = 563 ( 5raiz212 - 1124 )
Simplificando:
563 ( 10raiz2 - 1124 ) = 563 cdot 10raiz2 - 1124 = 56(10raiz2 - 11)72 = 14(10raiz2 - 11)18 = 7(10raiz2 - 11)9

Resposta

A integral dupla vale .

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