Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro x^2 + y^2 = 4 e os planos y + z = 4 e z = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está limitado por um cilindro e dois planos. O enunciado nos dá a equação do cilindro e os planos e . Vamos usar cálculo, mais especificamente integrais múltiplas, para encontrar esse volume. Precisaremos entender como configurar os limites de integração para essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do cilindro . Essa é a equação de um cilindro circular com raio 2, alinhado ao eixo z. Isso significa que, para cada ponto no cilindro, a soma dos quadrados de x e y é 4, independentemente do valor de z.

Passo 3

Agora, vamos analisar os planos que limitam o sólido. O plano é simplesmente o plano xy, que será a base do nosso sólido. O outro plano, , pode ser reescrito como . Esse é um plano inclinado que intercepta o eixo z em z = 4 e o eixo y em y = 4.

Passo 4

Para encontrar o volume, vamos usar uma integral dupla sobre a área da base (o círculo ) e integrar em relação a z, de z = 0 até z = 4 - y. A expressão para o volume V será:
onde D é a região do plano xy definida por .

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares. Em coordenadas polares, e , e a área elementar vira . A equação do círculo passa a ser . Então, nossos limites de integração são de 0 a 2 e de 0 a .

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a r:

Passo 8

Agora, substituímos isso na integral externa:
Integrando termo a termo:

Resposta

Somando tudo, o volume do sólido é unidades cúbicas.

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