Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro
os planos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está limitado por um cilindro e dois planos. O enunciado nos dá a equação do cilindro
e os planos
e
. Vamos usar cálculo, mais especificamente integrais múltiplas, para encontrar esse volume. Precisaremos entender como configurar os limites de integração para essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do cilindro
. Essa é a equação de um cilindro circular com raio 2, alinhado ao eixo z. Isso significa que, para cada ponto no cilindro, a soma dos quadrados de x e y é 4, independentemente do valor de z.
Passo 3
Agora, vamos analisar os planos que limitam o sólido. O plano
é simplesmente o plano xy, que será a base do nosso sólido. O outro plano,
, pode ser reescrito como
. Esse é um plano inclinado que intercepta o eixo z em z = 4 e o eixo y em y = 4.
Passo 4
Para encontrar o volume, vamos usar uma integral dupla sobre a área da base (o círculo
) e integrar em relação a z, de z = 0 até z = 4 - y. A expressão para o volume V será:
onde D é a região do plano xy definida por
.
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares. Em coordenadas polares,
e
, e a área elementar
vira
. A equação do círculo passa a ser
. Então, nossos limites de integração são
de 0 a 2 e
de 0 a
.
Passo 6
Substituindo tudo na integral, temos:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a r:
Passo 8
Agora, substituímos isso na integral externa:
Integrando termo a termo:
Resposta
Somando tudo, o volume do sólido é
unidades cúbicas.