Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. A gente tem a função
, onde
,
e
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
quando
e
. Para isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia e algumas propriedades das derivadas logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar
e
. A Regra da Cadeia nos diz que, se
depende de
,
e
, que por sua vez dependem de
e
, então as derivadas parciais de
em relação a
e
são dadas por:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas. Primeiro, encontramos
,
e
. Como
, usando a derivada da função logaritmo, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
e
:
Passo 5
Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
nas expressões de
,
e
:
Passo 7
Substituímos esses valores nas derivadas parciais:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
E
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Calcule a integral
, onde
é a região do plano limitada pelas curvas
e
.
Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro
os planos
Utilize a Equação 6 para determinar
.
Mostre que se
tem elemento mínimo, então ele é único.