Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
quando

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. A gente tem a função , onde , e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e quando e . Para isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia e algumas propriedades das derivadas logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar e . A Regra da Cadeia nos diz que, se depende de , e , que por sua vez dependem de e , então as derivadas parciais de em relação a e são dadas por:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas. Primeiro, encontramos , e . Como , usando a derivada da função logaritmo, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de , e em relação a e :

Passo 5

Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Para :
Para :

Passo 6

Agora, vamos substituir e nas expressões de , e :

Passo 7

Substituímos esses valores nas derivadas parciais:
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
E :

Resposta

As derivadas parciais são:

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Utilize a Equação 6 para determinar .
Mostre que se tem elemento mínimo, então ele é único.