Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
R=ln (u^2+v^2+w^2), u=x+2 y, v=2 x-y, w=2 x y;
partial Rpartial x, partial Rpartial y quando x=y=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. A gente tem a função , onde , e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e quando e . Para isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia e algumas propriedades das derivadas logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar partial Rpartial x = partial Rpartial u cdot partial upartial x + partial Rpartial v cdot partial vpartial x + partial Rpartial w cdot partial wpartial x e partial Rpartial y = partial Rpartial u cdot partial upartial y + partial Rpartial v cdot partial vpartial y + partial Rpartial w cdot partial wpartial y . A Regra da Cadeia nos diz que, se depende de , e , que por sua vez dependem de e , então as derivadas parciais de em relação a e são dadas por:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas. Primeiro, encontramos partial Rpartial u = 2uu^2 + v^2 + w^2 , partial Rpartial v = 2vu^2 + v^2 + w^2 e partial Rpartial w = 2wu^2 + v^2 + w^2 . Como , usando a derivada da função logaritmo, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de partial upartial x = 1 e partial upartial y = 2 , partial vpartial x = 2 e partial vpartial y = -1 e partial wpartial x = 2y e partial wpartial y = 2x em relação a e :

Passo 5

Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Para partial Rpartial x = 2uu^2 + v^2 + w^2 cdot 1 + 2vu^2 + v^2 + w^2 cdot 2 + 2wu^2 + v^2 + w^2 cdot 2y :
partial Rpartial y = 2uu^2 + v^2 + w^2 cdot 2 + 2vu^2 + v^2 + w^2 cdot (-1) + 2wu^2 + v^2 + w^2 cdot 2x
Para :

Passo 6

Agora, vamos substituir u = 1 + 2(1) = 3 e v = 2(1) - 1 = 1 nas expressões de w = 2(1)(1) = 2 , e :

Passo 7

Substituímos esses valores nas derivadas parciais:
Primeiro, calculamos u^2 + v^2 + w^2 = 3^2 + 1^2 + 2^2 = 9 + 1 + 4 = 14 :
partial Rpartial x = 2(3)14 cdot 1 + 2(1)14 cdot 2 + 2(2)14 cdot 2(1) = 614 + 414 + 814 = 1814 = 97
Agora, calculamos partial Rpartial y = 2(3)14 cdot 2 + 2(1)14 cdot (-1) + 2(2)14 cdot 2(1) = 1214 - 214 + 814 = 1814 = 97 :
E :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial Rpartial x = 97 e partial Rpartial y = 97 quando x = y = 1

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