Calcule integral duplaR y sen(x y) d A, e R=[1,2] times[0, pi]

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral dupla de sobre a região . Isso envolve entender um pouco de cálculo de integrais duplas e como integrar funções que têm produtos de variáveis, tipo e dentro do seno.

Passo 2

Primeiro, a gente escolhe a ordem de integração. Vou integrar primeiro em relação a integral1^2 integral0^pi y sen(x y) , dy , dx de a e depois em relação a de a . Então, a integral fica assim:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é . Essa integral envolve um produto de integral u , dv = u v - integral v , du e , então vamos usar a técnica de integração por partes.
Lembrando que a integração por partes é dada por:
integral y sen(x y) , dy = -y cos(x y)x + sin(x y)x^2 + C
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa expressão de [ -pi cos(x pi)x + sin(x pi)x^2 ] - [ -0 cos(0)x + sin(0)x^2 ] a -pi cos(x pi)x + sin(x pi)x^2 :
Como e , a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral1^2 ( -pi cos(x pi)x + sin(x pi)x^2 ) dx de integral duplaR y sen(x y) , dA approx -pi2 + 12 = -pi - 12 a :
Essa integral pode ser resolvida utilizando métodos de integração por partes novamente ou reconhecendo que envolve funções especiais como a função integrada de seno e cosseno sobre . Para simplificar, podemos computar numericamente:
Calculando numericamente, a integral resulta em aproximadamente:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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