Calcule
, e
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral dupla de sobre a região
. Isso envolve entender um pouco de cálculo de integrais duplas e como integrar funções que têm produtos de variáveis, tipo
e
dentro do seno.
Passo 2
Primeiro, a gente escolhe a ordem de integração. Vou integrar primeiro em relação a
de
a
e depois em relação a
de
a
. Então, a integral fica assim:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral interna, que é . Essa integral envolve um produto de
e , então vamos usar a técnica de integração por partes.
Lembrando que a integração por partes é dada por:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa expressão de
a
:
Como
e
, a expressão simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Essa integral pode ser resolvida utilizando métodos de integração por partes novamente ou reconhecendo que envolve funções especiais como a função integrada de seno e cosseno sobre
. Para simplificar, podemos computar numericamente:
Calculando numericamente, a integral resulta em aproximadamente:
Resposta
A integral dupla é igual a
.
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Encontre os limites.
EXERCÍCIOS 11.10
Encontre os limites.
Determine o(s) ponto(s) do plano
no primeiro octante no(s) qual(is) a função
assume o valor máximo. Impondo-se ainda a restrição
, onde a função
assume seu valor máximo?