Calcule , e

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral dupla de sobre a região . Isso envolve entender um pouco de cálculo de integrais duplas e como integrar funções que têm produtos de variáveis, tipo e dentro do seno.

Passo 2

Primeiro, a gente escolhe a ordem de integração. Vou integrar primeiro em relação a de a e depois em relação a de a . Então, a integral fica assim:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é . Essa integral envolve um produto de e , então vamos usar a técnica de integração por partes.
Lembrando que a integração por partes é dada por:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa expressão de a :
Como e , a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de a :
Essa integral pode ser resolvida utilizando métodos de integração por partes novamente ou reconhecendo que envolve funções especiais como a função integrada de seno e cosseno sobre . Para simplificar, podemos computar numericamente:
Calculando numericamente, a integral resulta em aproximadamente:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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