Encontre os limites.
lim x 0 raiz25+x-5raiz1+x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 raiz25+x-5raiz1+x-1. Esse tipo de problema faz parte do estudo de Cálculo de Limites, onde precisamos encontrar o valor que uma função se aproxima quando a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver, vamos precisar usar racionalização, que ajuda a simplificar expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente o valor de x = 0 na expressão para ver o que acontece:
raiz25+0-5raiz1+0-1 = 5-51-1 = 00
Isso resulta em uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para eliminar as raízes quadradas e simplificar a expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado deles. O conjugado de uma expressão como raiza - b é raiza + b. Isso ajuda a eliminar as raízes quadradas quando multiplicamos.
Começamos com o numerador:
raiz25+x - 5
O conjugado é:
raiz25+x + 5
E o denominador:
raiz1+x - 1
O conjugado é:
raiz1+x + 1

Passo 4

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelos seus respectivos conjugados:
raiz25+x-5raiz1+x-1 times raiz25+x+5raiz25+x+5 times raiz1+x+1raiz1+x+1
Isso resulta em:
(raiz25+x-5)(raiz25+x+5)(raiz1+x-1)(raiz1+x+1) times raiz1+x+1raiz25+x+5

Passo 5

Agora, aplicamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 para simplificar:
No numerador:
(raiz25+x)^2 - (5)^2 = (25 + x) - 25 = x
No denominador:
(raiz1+x)^2 - (1)^2 = (1 + x) - 1 = x
Então, a expressão fica:
xx times raiz1+x+1raiz25+x+5 = 1 times raiz1+x+1raiz25+x+5

Passo 6

Agora, podemos cancelar o x que estava causando a indeterminação:
raiz1+x+1raiz25+x+5
Agora, substituímos x = 0 nessa expressão:
raiz1+0+1raiz25+0+5 = 1 + 15 + 5 = 210 = 15

Resposta

O limite é 15.

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