Encontre os limites.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse tipo de problema faz parte do estudo de Cálculo de Limites, onde precisamos encontrar o valor que uma função se aproxima quando a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver, vamos precisar usar racionalização, que ajuda a simplificar expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente o valor de na expressão para ver o que acontece:
Isso resulta em uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para eliminar as raízes quadradas e simplificar a expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado deles. O conjugado de uma expressão como é . Isso ajuda a eliminar as raízes quadradas quando multiplicamos.
Começamos com o numerador:
O conjugado é:
E o denominador:
O conjugado é:

Passo 4

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelos seus respectivos conjugados:
Isso resulta em:

Passo 5

Agora, aplicamos a identidade para simplificar:
No numerador:
No denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, podemos cancelar o que estava causando a indeterminação:
Agora, substituímos nessa expressão:

Resposta

O limite é .

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EXERCÍCIOS 11.10
Encontre a derivada direcional de no ponto na direção do vetor . Qual a direção de máxima variação de no ponto ?
Calcule , e
Encontre os limites.