Encontre os limites.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de Cálculo de Limites, onde precisamos encontrar o valor que uma função se aproxima quando a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver, vamos precisar usar racionalização, que ajuda a simplificar expressões com raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente o valor de
na expressão para ver o que acontece:
Isso resulta em uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Para eliminar as raízes quadradas e simplificar a expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado deles. O conjugado de uma expressão como
é
. Isso ajuda a eliminar as raízes quadradas quando multiplicamos.
Começamos com o numerador:
O conjugado é:
E o denominador:
O conjugado é:
Passo 4
Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelos seus respectivos conjugados:
Isso resulta em:
Passo 5
Agora, aplicamos a identidade
para simplificar:
No numerador:
No denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, podemos cancelar o
que estava causando a indeterminação:
Agora, substituímos
nessa expressão:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
EXERCÍCIOS 11.10
Encontre a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
. Qual a direção de máxima variação de
no ponto
?
Calcule
, e
Encontre os limites.