EXERCÍCIOS 11.10
sumn=0^infty (ln 2)^nn! x^n, R=infty

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente somar uma série infinita que tem essa forma: . Isso envolve conhecimentos de séries de potências e funções exponenciais. Vamos precisar entender como somar séries desse tipo usando a fórmula da série de Taylor para a função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a série dada se parece muito com a série de Taylor da função exponencial , que é . Aqui, o “a” está sendo substituído por .

Passo 3

Sabendo disso, podemos reescrever a nossa série original como:
sumn=0^infty (ln 2 cdot x)^nn!
Isso fica mais claro quando agrupamos e juntos dentro da potência.

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da série exponencial, sabemos que:
sumn=0^infty (ln 2 cdot x)^nn! = e^ln 2 cdot x
Isso simplifica a soma infinita para uma expressão exponencial mais fácil de trabalhar.

Passo 5

Por fim, lembrando que e^ln 2 cdot x = 2^x , temos:
Então, a soma da série infinita é igual a .

Resposta

sumn=0^infty (ln 2)^nn! x^n = 2^x

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