Determine o(s) ponto(s) do plano x + y + z = 5 no primeiro octante no(s) qual(is) a função f(x, y, z) = x * y^2 * z^2 assume o valor máximo. Impondo-se ainda a restrição x - y = 0, onde a função f assume seu valor máximo?

Passo 1

Então, temos um problema de otimização onde queremos encontrar os pontos no plano que estão no primeiro octante (ou seja, , , são todos positivos) onde a função atinge seu valor máximo. Além disso, há uma restrição a mais: . Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização com restrições, especificamente o método de substituição para reduzir as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com a restrição extra . Isso significa que . Com isso, podemos substituir por na equação do plano e na função que queremos maximizar.

Passo 3

Substituindo na equação do plano , ficamos com:
Agora, expressamos em termos de .

Passo 4

Agora, substituímos e na função :
Agora, a função está apenas em termos de , o que simplifica a otimização.

Passo 5

Para encontrar o valor máximo de , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia para derivar:
Simplificando:
Agora, igualamos a zero:
Isso nos dá possíveis soluções para .

Passo 6

As soluções da equação são:
Como estamos no primeiro octante, , então consideramos e .

Passo 7

Vamos avaliar para :
Portanto, a função no ponto é:

Resposta

O valor máximo da funç��o sob as restrições dadas ocorre no ponto no primeiro octante, onde assume o valor máximo de .

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