Determine o(s) ponto(s) do plano
no primeiro octante no(s) qual(is) a função
assume o valor máximo. Impondo-se ainda a restrição
, onde a função
assume seu valor máximo?
Passo 1
Então, temos um problema de otimização onde queremos encontrar os pontos no plano
que estão no primeiro octante (ou seja,
,
,
são todos positivos) onde a função
atinge seu valor máximo. Além disso, há uma restrição a mais:
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização com restrições, especificamente o método de substituição para reduzir as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lidar com a restrição extra
. Isso significa que
. Com isso, podemos substituir
por
na equação do plano e na função que queremos maximizar.
Passo 3
Substituindo
na equação do plano
, ficamos com:
Agora, expressamos
em termos de
.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na função
:
Agora, a função está apenas em termos de
, o que simplifica a otimização.
Passo 5
Para encontrar o valor máximo de
, vamos derivar em relação a
e igualar a derivada a zero:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia para derivar:
Simplificando:
Agora, igualamos a zero:
Isso nos dá possíveis soluções para
.
Passo 6
As soluções da equação são:
Como estamos no primeiro octante,
, então consideramos
e
.
Passo 7
Vamos avaliar
para
:
Portanto, a função no ponto
é:
Resposta
O valor máximo da funç��o
sob as restrições dadas ocorre no ponto
no primeiro octante, onde
assume o valor máximo de
.
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Encontre os limites.
Calcule
, e
Cálcule a integral tripla
onde
é o sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
Sugestão: use coordenadas cilíndricas.
Sugestão: use coordenadas cilíndricas.
Obtenha uma aproximação linear para a função
no ponto
e compare o valor de
no ponto
com o valor da aproximação calculada anteriormente tomada neste ponto.