Calcule
integral duplaR y sen(x y) d A
onde R=[1,2] times[0, pi].

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
integral duplaR y sin(x y) , dA
onde a região R é definida por R = [1,2] times [0, pi]. Isso significa que x varia de 1 a 2 e y varia de 0 a pi. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração iterada, ou seja, integrar primeiro em uma variável e depois na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos decidir a ordem de integração. Vou escolher integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. Assim, a integral fica:
integralx=1^2 ( integraly=0^pi y sin(x y) , dy ) dx

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral interna:
integral0^pi y sin(x y) , dy
Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que nos ajuda a integrar produtos de funções.

Passo 4

A integração por partes segue a fórmula:
integral u , dv = u v - integral v , du
Vamos escolher:
u = y Rightarrow du = dy
dv = sin(x y) , dy Rightarrow v = -1x cos(x y)

Passo 5

Aplicando a integração por partes:
integral0^pi y sin(x y) , dy = y ( -1x cos(x y) ) |0^pi - integral0^pi ( -1x cos(x y) ) dy
Simplificando:
= -pix cos(x pi) + 1x integral0^pi cos(x y) , dy

Passo 6

Agora, calculamos a integral restante:
integral0^pi cos(x y) , dy = 1x sin(x y) |0^pi = 1x sin(x pi) - 0 = 1x sin(x pi)

Passo 7

Substituindo isso de volta:
-pix cos(x pi) + 1x cdot 1x sin(x pi) = -pix cos(x pi) + sin(x pi)x^2

Passo 8

Agora, substituímos a integral interna resolvida na integral externa:
integral1^2 ( -pix cos(x pi) + sin(x pi)x^2 ) dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 9

Integrando o primeiro termo:
-pi integral1^2 cos(x pi)x , dx
E o segundo termo:
integral1^2 sin(x pi)x^2 , dx
Essas integrais não possuem antiderivadas elementares, então a resposta será expressa em termos dessas integrais definidas.

Resposta

A integral dupla é igual a
-pi integral1^2 cos(x pi)x , dx + integral1^2 sin(x pi)x^2 , dx

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