circledast Dada a circunferência com raio a,
x = a cos(t) e y = a sen(t), a > 0 e 0 <= t <= 2 pi
encontre o vetor curvatura e a curvatura em qualquer t.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma circunferência com raio , e as equações paramétricas são dadas por:
A pergunta quer que a gente encontre o vetor curvatura e a curvatura para qualquer valor de . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente as fórmulas para curvatura de curvas parametrizadas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é curvatura. A curvatura de uma curva em um ponto mede o quanto a curva está “curvando” naquele ponto. Para curvas no plano dadas por:
a curvatura é dada por:
Onde e são as primeiras derivadas de e em relação a , e e são as segundas derivadas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias. Começando com as primeiras derivadas de e :
Agora, as segundas derivadas:

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas, podemos substituir na fórmula da curvatura:
Simplificando o numerador:
E o denominador:
Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor curvatura. O vetor curvatura aponta na direção da normal à curva e tem magnitude igual à curvatura . Para curvas no plano, a normal pode ser obtida a partir das derivadas.
Primeiro, encontramos o vetor velocidade:
E o vetor aceleração:
O vetor aceleração já nos dá a direção da normal, e como já calculamos , o vetor curvatura é:

Resposta

A curvatura é e o vetor curvatura é .

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