Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide hiperbólico x^2 - 3y^2 + z = 2 e entre os planos x = -1, x = -2, y = 1 e y = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um sólido que é limitado por um paraboloide hiperbólico dado pela equação e pelos planos , , e . Vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação do paraboloide para encontrar em função de e :
Isso nos dá a “altura” do sólido em cada ponto dentro da região delimitada pelos planos.

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração. Os planos nos dão os intervalos para e :
  • varia de -2 a -1
  • varia de 1 a 2
Então, nossa região de integração é um retângulo nesse intervalo.

Passo 4

Vamos configurar o cálculo do volume usando uma integral dupla. A fórmula geral para o volume é:
Substituindo os limites e a expressão para :

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa em relação a :
Integrando:
Substituindo os limites:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcule
integral duplaR y sen(x y) d A
onde R=[1,2] times[0, pi].
circledast Dada a circunferência com raio a,
x = a cos(t) e y = a sen(t), a > 0 e 0 <= t <= 2 pi
encontre o vetor curvatura e a curvatura em qualquer t.
Seja C um número real e considere a função f: R backslash2,3 R dada por f(x)=x^3-C x^2-9 x+9 C(x-2)(x-3). Mostre que se C=2, então o limite lim x 2 f(x) existe.
Calcule os seguintes limites: lim x 1 6 x^2+2 x+2x^3+2