Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide hiperbólico
e entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um sólido que é limitado por um paraboloide hiperbólico dado pela equação
e pelos planos
,
,
e
. Vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação do paraboloide para encontrar
em função de
e
:
Isso nos dá a “altura” do sólido em cada ponto
dentro da região delimitada pelos planos.
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração. Os planos nos dão os intervalos para
e
:
-
varia de -2 a -1 -
varia de 1 a 2
Então, nossa região de integração é um retângulo nesse intervalo.
Passo 4
Vamos configurar o cálculo do volume usando uma integral dupla. A fórmula geral para o volume
é:
Substituindo os limites e a expressão para
:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral externa em relação a
:
Integrando:
Substituindo os limites:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
.
encontre o vetor curvatura e a curvatura em qualquer
.
Seja
um número real e considere a função
dada por
. Mostre que se
, então o limite
existe.
Calcule os seguintes limites: