Seja C um número real e considere a função f: R backslash2,3 R dada por f(x)=x^3-C x^2-9 x+9 C(x-2)(x-3). Mostre que se C=2, então o limite lim x 2 f(x) existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa mostrar que, se , o limite dessa função quando se aproxima de 2 existe. Isso envolve entender limites e como simplificar funções racionais. Vamos precisar fatorar o numerador para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(x) = x^3 - 2x^2 - 9x + 18(x-2)(x-3) por 2 na função:
Agora nossa função está completamente definida com .

Passo 3

Para encontrar o limite quando f(2) = 2^3 - 2 cdot 2^2 - 9 cdot 2 + 18(2-2)(2-3) = 8 - 8 - 18 + 180 cdot (-1) = 00 se aproxima de 2, a gente tenta substituir diretamente:
A forma é indeterminada, então precisamos simplificar a função.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador . Como o denominador tem , suspeitamos que é raiz do numerador. Vamos dividir o numerador por usando divisão polinomial ou fatoração.

Passo 5

Dividindo x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = (x-2)(x^2 + 0x - 9) = (x-2)(x^2 - 9) por x^2 - 9 = (x-3)(x+3) , encontramos:
(x-2)(x-3)(x+3)
E pode ser fatorado mais:
Então, o numerador fica:

Passo 6

Agora, substituímos na função original:
f(x) = (x-2)(x-3)(x+3)(x-2)(x-3)
Podemos cancelar os termos f(x) = x + 3 e que estão no numerador e denominador:
Essa simplificação é válida para e , mas para o limite, a gente ignora esses pontos específicos.

Passo 7

Agora, com a função simplificada limx to 2 f(x) = limx to 2 (x + 3) = 2 + 3 = 5 , podemos facilmente calcular o limite quando se aproxima de 2:

Resposta

O limite existe e é igual a 5.

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