Seja
um número real e considere a função
dada por
. Mostre que se
, então o limite
existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa mostrar que, se
, o limite dessa função quando
se aproxima de 2 existe. Isso envolve entender limites e como simplificar funções racionais. Vamos precisar fatorar o numerador para facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por 2 na função:
Agora nossa função está completamente definida com
.
Passo 3
Para encontrar o limite quando
se aproxima de 2, a gente tenta substituir diretamente:
A forma
é indeterminada, então precisamos simplificar a função.
Passo 4
Vamos fatorar o numerador
. Como o denominador tem
, suspeitamos que
é raiz do numerador. Vamos dividir o numerador por
usando divisão polinomial ou fatoração.
Passo 5
Dividindo
por
, encontramos:
E
pode ser fatorado mais:
Então, o numerador fica:
Passo 6
Agora, substituímos na função original:
Podemos cancelar os termos
e
que estão no numerador e denominador:
Essa simplificação é válida para
e
, mas para o limite, a gente ignora esses pontos específicos.
Passo 7
Agora, com a função simplificada
, podemos facilmente calcular o limite quando
se aproxima de 2:
Resposta
O limite
existe e é igual a 5.
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Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide hiperbólico
e entre os planos
e
.
Calcule
onde
.
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites: