Uma partícula está se movendo ao longo de uma curva tendo a equação vetorial
(a) Encontre uma equação cartesiana da trajetória da partícula.
(b) Encontre o vetor velocidade e o vetor aceleração.
© Determine
e
. Siga as instruções anteriores, se
(b) Encontre o vetor velocidade e o vetor aceleração.
© Determine
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que está se movendo ao longo de uma curva definida por uma equação vetorial. A gente precisa trabalhar com conceitos de trajetória, velocidade e aceleração. Para resolver isso, vamos usar matemática básica de cálculo e vetores. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.
Passo 2
Item (a): Encontrar uma equação cartesiana da trajetória da partícula.
A equação vetorial dada é:
Isso significa que a posição da partícula no tempo
é dada pelas coordenadas
e
.
Para achar a equação cartesiana, queremos eliminar o parâmetro
. Da equação
, a gente resolve para
:
Agora, substituímos esse valor de
na equação de
:
Simplificando:
Então, a equação cartesiana da trajetória é:
Passo 3
Item (b): Encontrar o vetor velocidade e o vetor aceleração.
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
A equação vetorial é:
Para encontrar a velocidade
:
Derivamos cada componente em relação a :
Derivamos cada componente em relação a
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então:
Para encontrar a aceleração
:
Derivamos a velocidade:
Derivamos a velocidade:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 4
Item ©: Determinar
e
para
Primeiro, vamos encontrar a velocidade e a aceleração para essa nova equação vetorial.
Velocidade
:
Derivamos cada componente:
Derivamos cada componente:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Então:
Aceleração
:
Derivamos a velocidade:
Derivamos a velocidade:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Então:
Agora, substituímos
:
Velocidade em
:
Aceleração em
:
Resposta
(a) A equação cartesiana da trajetória é
.
(b) O vetor velocidade é
e o vetor aceleração é
.
© Para
,
e
.
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.
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.
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onde
.