Resolva as integrais de funções racionais:
(o) integral (2 x+3) d x(x^2+2 x+10)^2
5
Resolva as integrais de funções irracionais:
(a) integral (x+3) d xx(x-2 raizx+3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas duas integrais que você me passou! A primeira é uma integral de uma função racional, e a segunda envolve uma função irracional. Para isso, vamos precisar usar técnicas de integração como substituição e frações parciais. Vamos por partes!

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
integral 2x + 3(x^2 + 2x + 10)^2 , dx
Aqui temos uma função racional porque o numerador e o denominador são polinômios. A ideia é tentar simplificar a fração para facilitar a integração. Uma técnica útil é a substituição.

Passo 3

Primeiro, vamos tentar simplificar o numerador para que ele se pareça com a derivada do denominador. O denominador é ddx (x^2 + 2x + 10) = 2x + 2 , então a derivada de 2x + 3 = (2x + 2) + 1 em relação a é:
Perceba que no numerador temos , que é quase a derivada do denominador, faltando apenas um termo constante. Podemos reescrever o numerador assim:

Passo 4

Com isso, a integral fica:
integral (2x + 2) + 1(x^2 + 2x + 10)^2 , dx = integral 2x + 2(x^2 + 2x + 10)^2 , dx + integral 1(x^2 + 2x + 10)^2 , dx
A primeira parte da integral agora está pronta para a substituição.

Passo 5

Vamos fazer a substituição:
u = x^2 + 2x + 10 Rightarrow dudx = 2x + 2 Rightarrow du = (2x + 2) dx
Então, a primeira integral se torna:
integral duu^2 = integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C
Substituindo de volta -1x^2 + 2x + 10 + C :

Passo 6

Agora, ainda precisamos resolver a segunda parte da integral:
integral 1(x^2 + 2x + 10)^2 , dx
Para isso, vamos completar o quadrado no denominador. Observamos que:
x^2 + 2x + 10 = (x + 1)^2 + 9
Então, a integral fica:
integral 1((x + 1)^2 + 9)^2 , dx

Passo 7

Agora, vamos usar uma substituição trigonométrica. Seja:
t = x + 1 Rightarrow dt = dx
A integral fica:
integral 1(t^2 + 9)^2 , dt
Sabemos que:
integral 1(t^2 + a^2)^2 , dt = t2a^2(t^2 + a^2)) + 12a^3 arctan(ta) + C
No nosso caso, t2 cdot 9 (t^2 + 9) + 12 cdot 27 arctan(t3) + C = t18(t^2 + 9) + 154 arctan(t3) + C . Aplicando a fórmula:
x + 118((x + 1)^2 + 9) + 154 arctan(x + 13) + C
Substituindo de volta :

Passo 8

Juntando as duas partes da integral original, temos:
-1x^2 + 2x + 10 + x + 118((x + 1)^2 + 9) + 154 arctan(x + 13) + C

Passo 9

Agora, vamos para a segunda integral:
integral x + 3x(x - 2 raizx + 3) , dx
Essa integral envolve uma função irracional por causa do . Vamos precisar simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 10

Primeiro, vamos simplificar o denominador. Observe que:
x - 2 raizx + 3 = (raizx)^2 - 2raizx + 3
Isso se parece com uma estrutura quadrática. Vamos tentar completar o quadrado:
(raizx)^2 - 2raizx + 1 + 2 = (raizx - 1)^2 + 2
Então, o denominador fica:
x - 2 raizx + 3 = (raizx - 1)^2 + 2

Passo 11

Agora, reescrevemos a integral com a simplificação do denominador:
integral x + 3x((raizx - 1)^2 + 2) , dx
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja:
t = raizx Rightarrow x = t^2 Rightarrow dx = 2t , dt

Passo 12

Substituindo na integral, temos:
integral t^2 + 3t^2((t - 1)^2 + 2) cdot 2t , dt = 2 integral t^2 + 3t^2 ((t - 1)^2 + 2) cdot t , dt = 2 integral t^2 + 3t ((t - 1)^2 + 2) , dt
Simplificando mais:
2 integral t^2 + 3t ((t - 1)^2 + 2) , dt

Passo 13

Vamos dividir o numerador para simplificar a fração:
t^2 + 3t ((t - 1)^2 + 2) = t^2t ((t - 1)^2 + 2) + 3t ((t - 1)^2 + 2) = t(t - 1)^2 + 2 + 3t ((t - 1)^2 + 2)
Então, a integral fica:
2 ( integral t(t - 1)^2 + 2 , dt + integral 3t ((t - 1)^2 + 2) , dt )

Passo 14

Vamos resolver a primeira integral:
integral t(t - 1)^2 + 2 , dt
Fazendo uma substituição simples, seja:
u = t - 1 Rightarrow du = dt
Então, integral u + 1u^2 + 2 , du = integral uu^2 + 2 , du + integral 1u^2 + 2 , du , e a integral se torna:

Passo 15

Resolvendo cada parte:
  1. 12 ln|u^2 + 2| + C : Aqui, fazemos 1raiz2 arctan(uraiz2) + C , então 12 ln(u^2 + 2) + 1raiz2 arctan(uraiz2) + C . Assim,
12 ln((t - 1)^2 + 2) + 1raiz2 arctan(t - 1raiz2) + C
  1. : Isso é uma integral padrão que resulta em:
Então, juntando:
Substituindo de volta :

Passo 16

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral 3t ((t - 1)^2 + 2) , dt
Para essa, podemos usar frações parciais. Vamos supor que:
3t ((t - 1)^2 + 2) = At + Bt + C(t - 1)^2 + 2
Multiplicando ambos os lados por 3 = A ((t - 1)^2 + 2) + (Bt + C)t :
3 = A(t^2 - 2t + 1 + 2) + Bt^2 + Ct = A t^2 - 2A t + 3A + Bt^2 + Ct
Expandindo:
( A + B ) t^2 + ( -2A + C ) t + 3A = 3
Agrupando termos:
A + B = 0 -2A + C = 0 3A = 3
Comparando os coeficientes:
A = 1 B = -1 C = 2
Resolvendo:
1t + -t + 2(t - 1)^2 + 2
Então, a fração parcial fica:

Passo 17

Agora, a integral se torna:
integral ( 1t + -t + 2(t - 1)^2 + 2 ) , dt = integral 1t , dt + integral -t + 2(t - 1)^2 + 2 , dt
Resolvendo cada parte:
  1. integral -(u +1) + 2u^2 + 2 , du = integral -u -1 +2u^2 + 2 , du = integral -u +1u^2 + 2 , du
  2. Para - integral uu^2 + 2 , du + integral 1u^2 + 2 , du = -12 ln(u^2 + 2) + 1raiz2 arctan(uraiz2) + C , fazemos - 12 ln((t -1)^2 + 2) + 1raiz2 arctan(t -1raiz2) + C , então e :
Que se separa em:
Substituindo de volta :

Passo 18

Juntando todas as partes, a integral original fica:
2 ( 12 ln((t - 1)^2 + 2) + 1raiz2 arctan(t - 1raiz2) + ln|t| - 12 ln((t -1)^2 + 2) + 1raiz2 arctan(t -1raiz2) ) + C
Simplificando:
2 ( ln|t| + 2raiz2 arctan(t -1raiz2) ) + C = 2 ln|t| + 4raiz2 arctan(t -1raiz2) + C
Substituindo 2 ln|raizx| + 4raiz2 arctan(raizx -1raiz2) + C = ln|x| + 2raiz2 arctan(raizx -1raiz2) + C :

Resposta

A segunda integral resolvida é:
ln|x| + 2raiz2 arctan(raizx - 1raiz2) + C

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