Resolva as integrais de funções racionais:
(o)
5
Resolva as integrais de funções irracionais:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essas duas integrais que você me passou! A primeira é uma integral de uma função racional, e a segunda envolve uma função irracional. Para isso, vamos precisar usar técnicas de integração como substituição e frações parciais. Vamos por partes!
Passo 2
Vamos começar com a primeira integral:
Aqui temos uma função racional porque o numerador e o denominador são polinômios. A ideia é tentar simplificar a fração para facilitar a integração. Uma técnica útil é a substituição.
Passo 3
Primeiro, vamos tentar simplificar o numerador para que ele se pareça com a derivada do denominador. O denominador é , então a derivada de em relação a é:
Perceba que no numerador temos , que é quase a derivada do denominador, faltando apenas um termo constante. Podemos reescrever o numerador assim:
Passo 4
Com isso, a integral fica:
A primeira parte da integral agora está pronta para a substituição.
Passo 5
Vamos fazer a substituição:
Então, a primeira integral se torna:
Substituindo de volta :
Passo 6
Agora, ainda precisamos resolver a segunda parte da integral:
Para isso, vamos completar o quadrado no denominador. Observamos que:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos usar uma substituição trigonométrica. Seja:
A integral fica:
Sabemos que:
No nosso caso, . Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta :
Passo 8
Juntando as duas partes da integral original, temos:
Passo 9
Agora, vamos para a segunda integral:
Essa integral envolve uma função irracional por causa do . Vamos precisar simplificar a expressão para facilitar a integração.
Passo 10
Primeiro, vamos simplificar o denominador. Observe que:
Isso se parece com uma estrutura quadrática. Vamos tentar completar o quadrado:
Então, o denominador fica:
Passo 11
Agora, reescrevemos a integral com a simplificação do denominador:
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja:
Passo 12
Substituindo na integral, temos:
Simplificando mais:
Passo 13
Vamos dividir o numerador para simplificar a fração:
Então, a integral fica:
Passo 14
Vamos resolver a primeira integral:
Fazendo uma substituição simples, seja:
Então, , e a integral se torna:
Passo 15
Resolvendo cada parte:
: Aqui, fazemos , então . Assim,
: Isso é uma integral padrão que resulta em:
Então, juntando:
Substituindo de volta :
Passo 16
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Para essa, podemos usar frações parciais. Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Agrupando termos:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo:
1t + -t + 2(t - 1)^2 + 2
Então, a fração parcial fica:
Passo 17
Agora, a integral se torna:
integral ( 1t + -t + 2(t - 1)^2 + 2 ) , dt = integral 1t , dt + integral -t + 2(t - 1)^2 + 2 , dt
Resolvendo cada parte:
integral -(u +1) + 2u^2 + 2 , du = integral -u -1 +2u^2 + 2 , du = integral -u +1u^2 + 2 , du
Para - integral uu^2 + 2 , du + integral 1u^2 + 2 , du = -12 ln(u^2 + 2) + 1raiz2 arctan(uraiz2) + C , fazemos - 12 ln((t -1)^2 + 2) + 1raiz2 arctan(t -1raiz2) + C , então e :
Que se separa em:
Substituindo de volta :
Passo 18
Juntando todas as partes, a integral original fica: