Resolva as integrais de funções irracionais:
(g) integral raiz1-x1+x d xx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é integração, especialmente envolvendo funções irracionais e substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar entender um pouco sobre substituições em integrais e como lidar com expressões dentro de raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que t = raiz1 - x1 + x pode ser reescrita como . Mas para facilitar, vamos fazer uma substituição direta. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos expressar t^2 = 1 - x1 + x em termos de t^2 (1 + x) = 1 - x t^2 + t^2 x = 1 - x t^2 x + x = 1 - t^2 x(t^2 + 1) = 1 - t^2 x = 1 - t^21 + t^2 . Elevando ambos os lados ao quadrado:
Vamos resolver para :

Passo 4

Agora, precisamos achar dx = ddt ( 1 - t^21 + t^2 ) dt dx = (-2t)(1 + t^2) - (1 - t^2)(2t)(1 + t^2)^2 dt dx = -2t - 2t^3 - 2t + 2t^3(1 + t^2)^2 dt dx = -4t(1 + t^2)^2 dt em termos de . Vamos derivar em relação a :

Passo 5

Substituindo integral raiz1 - x1 + x cdot dxx = integral t cdot -4t(1 + t^2)^2 cdot 1 + t^21 - t^2 dt = integral t cdot -4t(1 + t^2)(1 + t^2)^2 (1 - t^2) dt = integral -4t^2(1 + t^2)(1 - t^2) dt e na integral original:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
-4t^2(1 + t^2)(1 - t^2) = -4t^21 - t^4 = 4t^2t^4 - 1
Agora, a integral fica:
integral 4t^2t^4 - 1 dt

Passo 7

Vamos fatorar o denominador t^4 - 1 = (t^2)^2 - 1^2 = (t^2 - 1)(t^2 + 1) = (t - 1)(t + 1)(t^2 + 1) :
integral 4t^2(t - 1)(t + 1)(t^2 + 1) dt
Então, a integral se torna:

Passo 8

Para resolver essa integral, vamos usar frações parciais. Queremos escrever:
4t^2(t - 1)(t + 1)(t^2 + 1) = At - 1 + Bt + 1 + Ct + Dt^2 + 1
Multiplicando ambos os lados por 4t^2 = A(t + 1)(t^2 + 1) + B(t - 1)(t^2 + 1) + (Ct + D)(t^2 - 1) :

Passo 9

Agora, expandimos e igualamos os coeficientes:
Vamos escolher valores de 4(1)^2 = A(1 + 1)(1^2 + 1) + 0 + (C + D)(1^2 - 1) 4 = A(2)(2) + 0 + 0 4 = 4A A = 1 que simplifiquem a equação:
  • Para 4(-1)^2 = 0 + B(-1 - 1)(1 + 1) + (-C + D)((-1)^2 - 1) 4 = B(-2)(2) + 0 4 = -4B B = -1 :
4t^2 = (1)(t + 1)(t^2 + 1) + (-1)(t - 1)(t^2 + 1) + (Ct + D)(t^2 - 1)
  • Para 4t^2 = (t^3 + t^2 + t + 1) - (t^3 - t^2 + t -1) + (Ct^3 - Ct + Dt^2 - D) 4t^2 = t^3 + t^2 + t + 1 - t^3 + t^2 - t + 1 + Ct^3 - Ct + Dt^2 - D 4t^2 = 2t^2 + 2 + Ct^3 - Ct + Dt^2 - D :
Agora, para encontrar e , podemos expandir a equação geral:
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para : (já temos )
  • Termo constante: (confirma )

Passo 10

Agora, reescrevemos a integral com os valores encontrados:
integral 4t^2(t - 1)(t + 1)(t^2 + 1) dt = integral ( 1t - 1 - 1t + 1 + 2t^2 + 1 ) dt
Integrando termo a termo:
integral 1t - 1 dt - integral 1t + 1 dt + 2 integral 1t^2 + 1 dt = ln|t - 1| - ln|t + 1| + 2 arctan(t) + C

Passo 11

Agora, substituímos t = raiz1 - x1 + x de volta em termos de ln| raiz1 - x1 + x - 1 | - ln| raiz1 - x1 + x + 1 | + 2 arctan( raiz1 - x1 + x ) + C , lembrando que:
ln( raiz1 - x1 + x - 1raiz1 - x1 + x + 1 ) + 2 arctan( raiz1 - x1 + x ) + C
Então:
Podemos simplificar os logaritmos usando propriedades:

Resposta

A integral ln( raiz1 - x1 + x - 1raiz1 - x1 + x + 1 ) + 2 arctan( raiz1 - x1 + x ) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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5
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Encontre d/y d/x onde: y = arctg(raiz(x^2 - 1)) + arccossec(x), x > 1