Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é integração, especialmente envolvendo funções irracionais e substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar entender um pouco sobre substituições em integrais e como lidar com expressões dentro de raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que pode ser reescrita como . Mas para facilitar, vamos fazer uma substituição direta. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos expressar em termos de . Elevando ambos os lados ao quadrado:
Vamos resolver para :
Passo 4
Agora, precisamos achar em termos de . Vamos derivar em relação a :
Passo 5
Substituindo e na integral original:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos fatorar o denominador :
Então, a integral se torna:
Passo 8
Para resolver essa integral, vamos usar frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 9
Agora, expandimos e igualamos os coeficientes:
Vamos escolher valores de que simplifiquem a equação:
Para :
Para :
Agora, para encontrar e , podemos expandir a equação geral:
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
Para : →
Para : →
Para : (já temos )
Termo constante: (confirma )
Passo 10
Agora, reescrevemos a integral com os valores encontrados:
Integrando termo a termo:
Passo 11
Agora, substituímos de volta em termos de , lembrando que:
Então:
Podemos simplificar os logaritmos usando propriedades:
Resposta
A integral ln( raiz1 - x1 + x - 1raiz1 - x1 + x + 1 ) + 2 arctan( raiz1 - x1 + x ) + C é igual a: