Calcule integral duplaR y sen(x y), onde R=[1,2] times[0, pi].

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos calcular a integral dupla de sobre a região . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A região significa que:
  • varia de 1 a 2
  • varia de 0 a

Passo 3

Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Podemos escolher integrar primeiro em relação a integral duplaR y sen(x y) , dA = integral0^pi ( integral1^2 y sen(x y) , dx ) dy e depois em relação a :

Passo 4

Agora, vamos focar na integral interna, ou seja, integrar em relação a integral1^2 y sen(x y) , dx :
Aqui, é tratado como uma constante em relação a .

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja integral y sen(x y) , dx = integral sen(u) , du = -cos(u) + C = -cos(x y) + C , então , o que simplifica a integral:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de [ -cos(x y) ]1^2 = -cos(2 y) + cos(y) a :

Passo 7

Substituímos essa expressão na integral externa:
integral0^pi ( -cos(2 y) + cos(y) ) dy = integral0^pi -cos(2 y) , dy + integral0^pi cos(y) , dy

Passo 8

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeiro, para integral cos(y) , dy = sen(y) + C :
Segundo, para integral cos(2 y) , dy = 12 sen(2 y) + C :

Passo 9

Aplicando os limites de integração de 0 a - [ 12 sen(2 y) ]0^pi = - ( 12 sen(2 pi) - 12 sen(0) ) = - (0 - 0) = 0 :
Para [ sen(y) ]0^pi = sen(pi) - sen(0) = 0 - 0 = 0 :
Para :

Resposta

Somando os resultados das integrais, a integral dupla é igual a 0.

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