Calcule
, onde
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos calcular a integral dupla de sobre a região
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A região
significa que:
-
varia de 1 a 2 -
varia de 0 a
Passo 3
Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Podemos escolher integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos focar na integral interna, ou seja, integrar em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante em relação a
.
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja
, então
, o que simplifica a integral:
Passo 6
Aplicando os limites de integração de
a
:
Passo 7
Substituímos essa expressão na integral externa:
Passo 8
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeiro, para
:
Segundo, para
:
Passo 9
Aplicando os limites de integração de 0 a
:
Para
:
Para
:
Resposta
Somando os resultados das integrais, a integral dupla é igual a 0.
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