Calcule , onde .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos calcular a integral dupla de sobre a região . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A região significa que:
  • varia de 1 a 2
  • varia de 0 a

Passo 3

Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Podemos escolher integrar primeiro em relação a e depois em relação a :

Passo 4

Agora, vamos focar na integral interna, ou seja, integrar em relação a :
Aqui, é tratado como uma constante em relação a .

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja , então , o que simplifica a integral:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de a :

Passo 7

Substituímos essa expressão na integral externa:

Passo 8

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeiro, para :
Segundo, para :

Passo 9

Aplicando os limites de integração de 0 a :
Para :
Para :

Resposta

Somando os resultados das integrais, a integral dupla é igual a 0.

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