Esboçar a região de integração e calcular as seguintes integrais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região de integração e calcular a integral dupla. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como determinar a região de integração e como calcular integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Olhando para os limites da integral:
varia de 1 a .
Para cada valor de , varia de 0 a 1.
Isso significa que a região de integração é um retângulo no plano , onde:
O eixo vai de 1 a .
O eixo vai de 0 a 1.
Então, desenhando no plano cartesiano, temos um retângulo com lados paralelos aos eixos, de a e de a .
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral dupla. Esse tipo de integral é chamado de integral iterada, onde a gente integra primeiro em relação a uma variável e depois na outra.
Passo 4
Vamos começar integrando com relação a . A integral interna é . Aqui, é tratado como uma constante em relação a . Então:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado acima com relação a . A integral externa fica: