Esboçar a região de integração e calcular as seguintes integrais

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região de integração e calcular a integral dupla . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como determinar a região de integração e como calcular integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Olhando para os limites da integral:
  • varia de 1 a .
  • Para cada valor de , varia de 0 a 1.
Isso significa que a região de integração é um retângulo no plano , onde:
  • O eixo vai de 1 a .
  • O eixo vai de 0 a 1.
Então, desenhando no plano cartesiano, temos um retângulo com lados paralelos aos eixos, de a e de a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral dupla . Esse tipo de integral é chamado de integral iterada, onde a gente integra primeiro em relação a uma variável e depois na outra.

Passo 4

Vamos começar integrando com relação a . A integral interna é . Aqui, é tratado como uma constante em relação a . Então:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado acima com relação a . A integral externa fica:
Integrando em relação a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Represente geometricamente a região e, a seguir, calcule o volume do sólido obtido quando é rotacionada em torno da reta .
Esboçar a região de integração e calcular as seguintes integrais ;
Calcule , onde .