Considere o campo vetorial
F(x, y) = (1 - y e^(-x)) i + e^(-x) j
0,5 Mostre que F = vetor(F) é um campo conservativo, sem calcular um potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo vetorial e pede para mostrar que esse campo é conservativo sem calcular um potencial. Então, vamos usar conceitos de cálculo vetorial para verificar se esse campo é conservativo.

Passo 2

Primeiro, lembra que um campo vetorial é conservativo se satisfizer a condição de igualdade das derivadas cruzadas: . Isso é baseado no fato de que campos conservativos têm rotacional zero.

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando :
Calculando :

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas:
Como , a condição para o campo ser conservativo é satisfeita.

Resposta

Sim, o campo é conservativo.

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