Considere o campo vetorial
Mostre que
é um campo conservativo, sem calcular um potencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo vetorial
e pede para mostrar que esse campo é conservativo sem calcular um potencial. Então, vamos usar conceitos de cálculo vetorial para verificar se esse campo é conservativo.
Passo 2
Primeiro, lembra que um campo vetorial
é conservativo se satisfizer a condição de igualdade das derivadas cruzadas:
. Isso é baseado no fato de que campos conservativos têm rotacional zero.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas:
Como
, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita.
Resposta
Sim, o campo
é conservativo.